Interpretación del jacobiano como instancia de la prueba del teorema de la función implícita

Question

Según tengo entendido, el teorema de la función implícita establece:

Sea $F:\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ sea una función continuamente diferenciable $\langle x_1,\ldots, x_m; y_1,\ldots y_n\rangle \mapsto \langle F_1, \ldots F_n\rangle$ , dejemos que $\vec{p}=\langle \vec{a}, \vec{b}\rangle\in \mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n$ sea un punto en el dominio de $F$ y que $\vec{q} = F(\vec{p})$ sea su valor.

Si el jacobiano $\frac{\partial(F_1, \ldots F_n)}{\partial(y_1,\ldots y_n)}$ es invertible, entonces existen vecindades $U \ni \vec{a}$ y $V \ni \vec{b}$ y un único función continuamente diferenciable $G: U\rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que:

1. $G(\vec{a}) = \vec{b}$
2. $\{\langle \vec{x}, G(\vec{x})\rangle : \vec{x}\in U\} = \{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle \in U\times V : F(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{q}\}$ (Cerca de $\vec{a}$ el gráfico de $G$ consiste exactamente en los puntos que hacen $F\equiv \vec{q}$ )

Por lo tanto, el teorema de la función implícita dice que en la vecindad de un punto, una relación $R \equiv \text{const.}$ corresponde a la gráfica de una función si un determinado jacobiano, evaluado en ese punto, es invertible.

Me pregunto si dado un jacobiano, se puede encontrar una relación $R$ para el que ese jacobiano es la prueba que se utilizaría para determinar si $R$ es una función definida implícitamente. ¿Y es útil una construcción de este tipo?

Si ayuda, estoy especialmente interesado en el caso 2x2 $\partial(f,g)/\partial(u,v)$ donde $f,g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ .

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Edición: Creo que la respuesta podría ser "Sí", pero que la relación $R$ es especialmente sencillo. La razón es que con un jacobiano típico, se tiene una matriz de $n\times n$ cada una de las cuales tiene la forma $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ . En cambio, para el teorema de la función implícita, se espera una matriz de funciones de la forma $\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ donde $m$ corresponde al número de variables "de entrada" y $n$ corresponde al número de variables de "salida". Si tiene $m=0$ variables de entrada, entonces tal vez el IFT se colapsa a sólo:

IFT de entrada cero . Sea $F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ sea una función continuamente diferenciable, y $\vec{y}$ sea un punto de su dominio, y sea $\vec{c}$ b Si el jacobiano $\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$ es invertible, entonces existe una vecindad $V\ni \vec{y}$ y una constante $G(\cdot):1\rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que:

1. $G(\cdot) = \vec{y}$
2. El conjunto único $\{\langle \cdot, \vec{y}\rangle\} = \{\langle \cdot, \vec{b}\rangle \in 1\times V : F(\vec{b})=\vec{c}) \}$ . Juntas, estas condiciones implican que si el jacobiano es invertible, entonces $\vec{y}$ es el único punto cercano en el que $F$ alcanza el valor $\vec{c}$ .

Creo que esta es una declaración de la inversa como un caso especial del teorema de la función implícita?

Answer 1

Supongamos que tenemos una jacobiana $J\equiv\partial(F_1,\ldots,F_n)/\partial(y_1,\ldots y_n)$ donde $F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ .

Buscamos una relación $R(x_1,\ldots, x_m;\, y_1,\ldots y_m)$ para lo cual $J$ es la prueba que se utilizaría para determinar si $R$ define implícitamente una función. Es decir, donde la matriz jacobiana corresponde a las derivadas parciales de $R$ con respecto a los argumentos que desea que se consideren argumentos de "salida".

Pero de hecho, $F$ sí mismo puede considerarse una relación en la que $J$ es la prueba adecuada. Se trata de un tipo de relación especialmente sencilla, porque $F$ no tiene argumentos de "entrada $x_1,\ldots, x_m$ .

Si $F$ considerada como una relación, pasa la prueba del teorema de la función implícita en un punto $\vec{y}$ el resultado del teorema de la función implícita dice simplemente que $F$ es invertible en una vecindad de $\vec{y}$ .