Formas diferenciales: Los autores de un artículo definen $d(u\times du)$ pero ¿qué es $u \times du$ ¿Qué se supone que significa?

Question

Estoy leyendo [1] recientemente y tengo otra pregunta sobre una observación de este artículo. He intentado resolverla yo mismo (ver más abajo) pero no lo he conseguido. Podría ser sólo un problema de notación.

El montaje:

• Sea $u \in H^1(\Omega,\mathbb{C})$ donde $\Omega = [-\pi,\pi]^3 \subset \mathbb{R}^3$ .

• En [1, Rmk.4.2] los autores denotan por $Ju$ la forma 2 $$\begin{equation} Ju \equiv \frac{1}{2} d(u \times du) = \sum_{1 \leq i < j \leq 3} (\partial_i u \times \partial_j u) dx_i \wedge dx_j. \end{equation}$$

• Además, definen $$\begin{equation} \zeta_1(x)= - x_2 dx_1 \wedge dx_2 - x_3 dx_1 \wedge dx_3. \end{equation}$$

• De esta definición se deduce que $$\begin{equation} \star \zeta_1 = -x_2 dx_3 + x_3 dx_2 \end{equation}$$ que he comprobado. Aquí $\star$ denota el operador-estrella de Hodge.

• A continuación calculé $$\begin{equation} d(\star \zeta) = -2dx_2 \wedge dx_3 \tag{G1}\end{equation}$$ lo cual espero que sea correcto.

• Ahora los autores afirman que $$\begin{equation} (u \times du) \wedge d(\star \zeta_1) = 2 \langle i \partial_1 u, u \rangle dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_3 \tag{G2} \end{equation}$$

Mi pregunta:

¿Qué es la $u \times du$ ¿Se supone?

Mi intento:

Intenté averiguarlo por mi cuenta, pero descubrí la siguiente dificultad:

• Sea $\omega=\sum_{i=1}^3 \omega^i dx_i$ sea la 1-Forma $\omega=u \times du$ . Entonces $$\begin{equation} \frac{1}{2} d\omega = \frac{1}{2} \sum_{1 \leq i< j \leq 3} \omega^i_{x_j} dx_j \wedge dx_i\stackrel{!}{=} Ju = \sum_{1\leq i < j\leq 3} (\partial_i u \times \partial_j u) dx_i \wedge dx_j. \end{equation}$$ Esto sugiere que $\omega_{x_j}^i = -2 (\partial_i u \times \partial_j u)$ .

• Por otra parte, debido a $(G1)$ ecuación $(G2)$ se convierte en $$\begin{equation} \omega \wedge d(\star \zeta) = -2\omega^1dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \stackrel{!}{=} 2 \langle i \partial_1 u, u \rangle dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3, \end{equation}$$ que sugiere $\omega^1=-\langle i \partial_1 u, u \rangle$ .

Así que mi pregunta se reduce a

¿Cómo son compatibles estas dos ecuaciones? ¿Cuál es la $\times$ ¿Qué se supone que significa?

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[1] Béthuel, F., P. Gravejat y J. C. Saut: Ondas viajeras para la ecuación de Gross- Pitaevskii. II. Comm. Math. Phys., 285(2):567-651, 2009.

Answer 1

Creo que todo esto se resuelve con una errata. Si $u$ mapas $\Omega$ a $\mathbb R^3$ entonces se está tomando el producto cruz de un vector en $\mathbb R^3$ con un $\mathbb R^3$ -valorado $1$ -forma. Esto es totalmente coherente con sus fórmulas.

Así que ganamos los dos:) Están interpretando $\mathbb C \cong \mathbb R^2$ y definiendo el producto cruz de dos vectores $u,v\in\mathbb R^2$ como el número real $(u\times v)\cdot e_3\in\mathbb R$ . En particular, $$u\times du = \big(u_2(\partial_1u_1) - u_1(\partial_1 u_2)\big)dx_1 \pmod{dx_2,dx_3}\,.$$

Todas sus fórmulas son coherentes con esto, recordando que han definido $\langle u,v\rangle = \text{Re}(u\bar v)$ es decir, el producto punto real de los vectores en $\mathbb C \cong \mathbb R^2$ .