Considero un vector aleatorio $X\in \mathbb{R}^N$ siguiendo una distribución gaussiana multivariante de media cero y matriz de covarianza $\Sigma_X$ tal que $\forall 1\le i \le N, (\Sigma_X)_{ii}=1$ (sólo hay 1 en diagonal). Estoy interesado en el máximo del valor absoluto de los elementos de $X$ : $\lVert X \rVert_\infty = \max_{1\le n \le N} |X_n|$ .
Tengo la intuición de que la siguiente desigualdad es cierta: \begin{equation}\label{goal} \forall K>0, \; \mathbb{P}(\lVert X \rVert_\infty \le K) \ge \mathbb{P}(\lVert Y \rVert_\infty \le K) \qquad \mathrm{where} \qquad Y\sim \mathcal{N}(0,I_N) \end{equation} En otras palabras, la probabilidad de $\lVert X \rVert_\infty$ siendo menor que $K$ es mínimo en el caso de que todos los elementos de $X$ son variables normales centradas iid.
Conseguí demostrarlo en el caso $N=2$ por cálculo directo de la probabilidad anterior, pero las integrales se complican demasiado para grandes $N$ . ¿Este resultado es válido para $N>2$ y ¿hay alguna prueba?
En el caso de que el resultado no sea cierto, ¿existen clases más pequeñas de matrices de covarianza $\Sigma_X$ (por ejemplo, matrices Toeplitz o matrices Toeplitz con $1, \rho, \rho^2,\rho^3,\dots$ en la primera línea) para los que se cumple la desigualdad ?
