En $\kappa$ -filtraciones y palos.

Question

Sea $A$ sea un conjunto de cardinalidad $\kappa$ . A $\kappa$ -filtración de $A$ es una secuencia indexada $\{A_{\nu}:\nu<\kappa\}$ tal que para todo $\mu,\nu<\kappa$ :

1. la cardinalidad de $A_{\nu}$ es $<\kappa$ ;
2. si $\mu<\nu$ entonces $A_{\mu}\subseteq A_{\nu}$ ;
3. Si $\nu$ es un límite en $\kappa$ entonces $A_{\nu}=\bigcup_{\mu<\nu} A_{\mu}$ ;
4. $A=\bigcup_{\nu<\kappa} A_{\nu}$ .

Mi pregunta es por qué lo siguiente (Ejercicio II.18 en la obra de Eklof y Mekler Módulos casi gratuitos ):

Si $\{A_{\mu}:\mu<\kappa\}$ es un $\kappa$ -filtración de un conjunto $A$ de cardinalidad $\kappa$ siendo $\kappa$ regular, hay un club $C$ en $\kappa$ tal que para todo $\nu\in C$ , $|A_{\nu^{+}}\setminus A_{\nu}|=|\nu^{+}\setminus \nu|$ donde $\nu^{+}$ indica $\inf\{\alpha\in C:\alpha>\nu\}$ .

Una pista sería suficiente. Gracias.

Answer 1

CONSEJO: Deja que $C=\{\nu<\kappa:|A_\nu|=|\nu|\}$ y demuestre que $C$ es cerrado e ilimitado.