Pruebas $x$ entre $\alpha - \epsilon$ si $\alpha$ es supremum

Question

Sea $S\subseteq\Bbb R$ y $\alpha \in \Bbb R$ . Si $\alpha = \sup(S)$ demuestre que para cualquier $\epsilon > 0$ hay algo de $x \in S$ tal que $\alpha - \epsilon < x$ .

Lo que he hecho :

Desde $\alpha$ es el supremum, $x<\alpha$ y $\alpha - \epsilon < \alpha$ Quiero mostrar $x$ está entre $\alpha - \epsilon$ y $\alpha$ pero no puedo y ni siquiera estoy seguro de que sea posible.

Hace mucho tiempo que publiqué una pregunta, así que lo siento si esto parece una pregunta de tarea total.

Answer 1

Queremos demostrar la existencia de tales $x$ .

Supongamos que no existe, entonces tenemos $\alpha - \epsilon$ siendo un límite superior de $S$ lo que contradice que $\alpha$ es el límite superior mínimo.

Answer 2

Pista: ¿Qué ocurre si no hay $x\in S$ tal que $\alpha-\varepsilon<x$ ? (Piensa en la definición de supremum).