En el problema de control LQ por qué $2PA = A^{T}P + PA$

Question

No entiendo por qué se mantiene la ecuación siguiente suponiendo que $A$ y $P$ son ambas matrices cuadradas en $\Bbb{R}^{n*n}$ y $P$ es simétrica y definida positiva (es decir. $ P = P^{T} $ y $ x^{T}Px > 0 $ )

$$ 2 PA = A^{T}P + PA $$

Estoy tratando de entender el LQR a partir de lo siguiente diapositivas (hoja 2). Puedo entender por qué $ \partial V(x)f(x) = 2x^{T}PAx $ pero no entiendo por qué $ 2x^{T}PAx = x^{T}[A^{T}P+PA]x $ . Creo que tiene algo que ver con $ 2PA = A^{T}P + PA $ pero no estoy seguro.

Answer 1

Porque $x^T PA x$ es un escalar, su transpuesto es igual a sí mismo, es decir $x^T PA x = (x^T PA x)^T = x^T A^T P x$ . Pero $PA \neq A^T P$ en general.

Answer 2

$x^TAx=x^TBx\quad \forall x\in\mathbb{R}^n\quad$ no implica $A=B$ pero implica que la parte simétrica de $A$ es igual a la parte simétrica de $B$ .

La prueba de esto es muy sencilla de esto es muy sencilla dividiendo la matriz en partes simétricas y anti simétricas y es bien sabido que la ecuación cuadrática de una matriz anti simétrica es 0.