Demostrar que la medida de un conjunto es 1

Question

Sea $X$ sea un espacio métrico compacto y $T:X\rightarrow X$ sea un mapa continuo. Sea $\mu$ ser un $T$ -medida de Borel invariante tal que $\mu(U)>0$ para cada conjunto abierto $U \subset X$ .

Intento demostrar que \begin{equation*} \mu \{ x \in X: \text{the set} \{T^n(x):n \in \mathbb{N} \} \text{ is dense in } X \} = 1. \end{equation*}

Aparentemente la solución implica encontrar una base para la topología, pero por desgracia no he estudiado topología así que no estoy seguro de cómo ayuda esto. La ergodicidad también puede ser útil.

Agradecería cualquier ayuda.

Edito: Perdón por la respuesta tan tardía, resulta que en la pregunta faltaba que $T$ es ergódica con respecto a $\mu$ .

Answer 1

Un par de cosas: una, pareces estar asumiendo implícitamente que $\mu$ es una medida de probabilidad, ya que parece que quieres demostrar que casi todos los puntos tienen una órbita densa. Dos, como han mostrado los comentarios, esto no parece cierto si sólo supones $T:X\to X$ continua. Sin embargo, sí se cumple si se supone que $T$ es ergódica con respecto a $\mu$ .

Para ello, recordemos el Teorema Ergódico de Birkhoff. Basta con demostrar que el conjunto $\{T^n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ interseca cada conjunto abierto no vacío $U$ para demostrar la densidad. Por el teorema, $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \chi_U(T^i x)\to \int_X \chi_U d\mu=\mu(U)>0$ para $\mu$ -a.e. $x$ por lo que, de hecho, infinitamente muchos de los iterados deben intersecar $U$ para casi todos los $x$ . Si se asume ergodicidad única, se tendría de hecho cada órbita densa en $X$ pero eso requiere un poco más de trabajo.