Demostrando que $\int x^{x^{x^{.^{.......}}}} dx= \sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-n)^{n-1}}{n!} \Gamma(n, -\ln x)$ [Verificación de pruebas]

Question

Por favor, comprueba si lo he resuelto correctamente y si hay algún error. Muchos de los pasos son propiedades bien conocidas, así que puede que me los haya saltado.

Para probar: $$\int x^{x^{x^{.^{.......}}}} dx= - \sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-n)^{n-1}}{n!} \Gamma(n, -\ln x)$$

Para empezar,

$$\int x^{x^{x^{.^{.......}}}} dx= \int\frac {-W(-\ln(x))}{\ln(x)} dx$$

donde $W( )$ es la función Lambert-W. Esto puede verificarse mediante wolfram alpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5Ey

deje $-\ln x=t$

$$x=e^{-t}$$

$$dx =-xdt$$

$$\therefore \int\frac {-W(-\ln(x))}{\ln(x)} dx =- \int \frac {W(t)}{te^t}dt$$ En expansión $W(t)$ : $$W(t)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-n)^{n-1}}{n!}t^n$$

$$\therefore - \int \frac {W(t)}{te^t}dt= -\frac{1}{te^t}\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-n)^{n-1}}{n!}t^n = -\sum_{n=1}^{\infty} \int\frac {(-n)^{n-1}}{(n!)te^t}t^n dt=-\sum_{n=1}^{\infty} \int\frac {(-n)^{n-1}}{(n!)e^t}t^{n-1} dt$$

También, $\int t^{n-1}e^{-t} dt=-\Gamma(n,t)$

$$\therefore~ -\sum_{n=1}^{\infty} \int\frac {(-n)^{n-1}}{(n!)e^t}t^{n-1} dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-n)^{n-1}}{(n!)}\Gamma(n, t)$$

Sustituyendo $t= -\ln x$ en la ecuación final:

$$\int \left( x^{x^{x^{.^{.......}}}} \right) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-n)^{n-1}}{(n!)}\Gamma(n, -\ln x)$$

Edición: Ahora estoy bastante seguro de que esto es correcto, ya que mirando el gráfico desmos https://www.desmos.com/calculator/v0uulbfbsa se puede observar que ambos gráficos coinciden en el intervalo de $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$ . Este es el mismo rango en el que la integral de $x^{x^{x^{.^{.......}}}}$ se define.

Pero aun así también agradecería si alguien más pudiera verificarlo :)

Aquí tienes algunas integrales como ésta si te gusta hacer integrales como ésta,

$\int x^{x}dx = \sum _{n=0}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^n \Gamma \left(n+1,-\left(n+1\right)\ln\left({x}\right)\right)}{n!\left(n+1\right)^{(n+1)}} ~(1)$

$\int x^{\frac{1}{x}} dx= \sum_{n=0}^\infty \frac {\Gamma(n+1,(n-1)\log(x))}{(n-1)^{n+1}.n!} ~(2)$

$\int x^{x^{x^{.^{.......}}}} dx = \sum_{n=0}^{\infty}-\frac {(-1)^n(-\ln x)^ne^{[-nW(-\ln x)]}[-nW(-\ln x)]^{-n}[n\Gamma(n+1, -nW(-\ln x))- \Gamma(n+2, -nW(-\ln x))]} {(n!)n^2} ~(3)$

$\int x^{1/x^{1/x^{1/x...}}} dx= \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(\ln x)^n e^{-n W(\ln x)} \left( - (n+2)W(\ln x) \right)^{-n} \left( (n+2) \Gamma (n+1 , -(n+2)W(\ln x)) - \Gamma (n+2 , -(n+2)W(\ln x)) \right)}{(n+2)^2n!} ~(4)$

$\int \left( \frac{1}{x} \right) ^{x}dx = \sum _{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma \left(n+1,-\left(n+1\right)\ln\left({x}\right)\right)}{n!\left(n+1\right)^{(n+1)}} ~(5)$

$\int \left(\frac{1}{x} \right) ^{\frac{1}{x}} dx= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n \Gamma(n+1,(n-1)\log(x))}{(n-1)^{n+1}.n!} ~(6)$

$\int \left( \frac {1}{x} \right) ^{1/x^{1/x^{.^{...}}}} dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac {( \ln (1/x))^ne^{[-nW(-\ln (1/x))]}[-nW(-\ln (1/x))]^{-n}[n\Gamma(n+1, -nW(-\ln (1/x)))- \Gamma(n+2, -nW(-\ln (1/x)))]} {(n!)n^2} ~(7)$

$\int \left( \frac {1}{x} \right) ^{x^{x^{x...}}} dx= \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n(\ln (1/x))^n e^{-n W(\ln (1/x))} \left( - (n+2)W(\ln (1/x)) \right)^{-n} \left( (n+2) \Gamma (n+1 , -(n+2)W(\ln (1/x))) - \Gamma (n+2 , -(n+2)W(\ln (1/x))) \right)}{(n+2)^2n!} ~(8)$

$ \int \left( exp(x) \right) ^{exp(x)^{exp(x)...}} dx = \frac{1}{2} W(-x)(W(-x)+2) ~~~~~~(9) $

Answer 1

La prueba anterior no es correcta.

Mi error anterior es que intercambié el $\sum$ con el operador $\int$ aunque la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-n)^{n-1}}{n!}$ es divergente.

Integral correcta de $\int x^{x^{x^{.^{.......}}}} dx$ :

$$\int x^{x^{x^{.^{.......}}}} dx= \int\frac {-W(-\ln(x))}{\ln(x)} dx$$ deje $-\ln x=t$

$$x=e^{-t}$$

$$dx =-xdt$$

$$\therefore \int\frac {-W(-\ln(x))}{\ln(x)} dx =- \int \frac {W(t)}{te^t}dt$$ Lo sabemos: $$\frac{1}{e^t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t)^n}{n!}$$

$$- \int \frac {W(t)}{te^t}dt=- \int \sum_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^nW(t)(t)^n}{tn!}dt=- \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nW(t)(t)^{n-1}}{n!}dt$$ Desde la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^n}{n!}$ es convergente, podemos intercambiar el $\sum$ y $\int$ operadores.

$$- \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nW(t)(t)^{n-1}}{n!}dt = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\int W(t)(t)^{n-1}dt$$ Ahora, $$\int W(t)(t)^{n-1}dt= \sum_{n=0}^{\infty}\frac {(t)^ne^{[-nW(t)]}[-nW(t)]^{-n}[n\Gamma(n+1, -nW(t))- \Gamma(n+2, -nW(t))]} {n^2}$$

La prueba de ello es larga y puede confirmarse mediante Wolfram Alpha . Si quiere que se lo demuestre, coméntelo más abajo.

Sustituyendo $t=- \ln x$ :

$\sum_{n=0}^{\infty}-\frac {(-1)^n(-\ln x)^ne^{[-nW(-\ln x)]}[-nW(-\ln x)]^{-n}[n\Gamma(n+1, -nW(-\ln x))- \Gamma(n+2, -nW(-\ln x))]} {(n!)n^2}$

Y finalmente tenemos:

$\int x^{x^{x^{.^{.......}}}} dx = \sum_{n=0}^{\infty}-\frac {(-1)^n(-\ln x)^ne^{[-nW(-\ln x)]}[-nW(-\ln x)]^{-n}[n\Gamma(n+1, -nW(-\ln x))- \Gamma(n+2, -nW(-\ln x))]} {(n!)n^2}$