Generalizar una suma dados los primeros elementos

Question

Dado $\rho\in(0,1)$ y $f\colon\mathbb N\to\mathbb R$ definido como

$$\begin{aligned} f(0)&\mapsto1\\ f(1)&\mapsto2+\rho\\ f(2)&\mapsto3+2\rho+\rho^2\\ f(3)&\mapsto4+3\rho+2\rho^2+\rho^3 \end{aligned}$$

generalizar $f$ para un $n$ y simplificar el sumador (si es posible)

$$\sum_{n=0}^{\infty_+}(1+r)^{-n}f(n)$$

Creo que podría simplificar el sumatorio pero no me entra en la cabeza generalizar $f(n)$ . ¿Cuál debería ser el planteamiento al respecto? Gracias.

Answer 1

Una posible generalización $f$ es $$f(n)=\sum_{i=0}^{n} (i+1){\rho}^{n-i}$$ . Puede haber muchos $f$ . Pero aquí encaja.

Answer 2

$f$ puede representarse como una relación de recurrencia definiendo $f(0)=1$ .

$$f(r)=\rho f(r-1)+(r+1)\forall r\in\mathbb{Z^{+}}$$

Answer 3

Pruebe $f(n)=(n+1)+(n)\rho+(n-1)\rho^2+\cdot\cdot\cdot+(1)\cdot\rho^n=\sum\limits_{i=1}^{n+1} i\rho^{n+1-i} = \sum\limits_{i=0}^{n} (i+1)\rho^{n-i}$

$f(n)$ tiene $n+1$ términos en su suma donde la suma del coeficiente de cada término y la potencia de $\rho$ es $n+1$ .

Answer 4

No estoy seguro de lo que intentas hacer con tu ejemplo, pero una forma de expresar $f(n)$ con una fórmula general es $$f(n) = \sum_{i=0}^{n} (n-i+1)\rho^i.$$

Answer 5

Me gustaría añadir un enfoque más. Considere $$ f(n) = (n+1) + n \rho + (n-1) \rho^2 + \cdots + 1 \rho^n = \sum_{k=1}^{n+1} k \rho^{n+1-k}. $$ Obviamente $f(0)= 1$ , $f(1) = 2 + \rho$ etc. Ahora haga esta función un poco más complicada $$ f(n,x) = (n+1) x^n + n x^{n-1} \rho + (n-1) x^{n-2} \rho^2 + \cdots + 1 \rho^n. $$ Puede ver que $f(n,1) = f(n)$ . Representemos nuestra nueva función como una derivada y hagamos algunas transformaciones $$ \begin{align} f(n,x) &= \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{n+1} + x^{n} \rho + x^{n-1} \rho^2 + \cdots + x \rho^n\right) =\\ &= \frac{\partial}{\partial x} \left( x \left[x^{n} + x^{n-1} \rho + x^{n-2} \rho^2 + \cdots + \rho^n \right] \right) =\\ &= \frac{\partial}{\partial x} \frac{x (x - \rho) (x^{n} + x^{n-1} \rho + x^{n-2} \rho^2 + \cdots + \rho^n)}{x - \rho} =\\ &= \frac{\partial}{\partial x} \frac{x (x^{n+1} - \rho^{n+1})}{x - \rho} \end{align} $$ Hacer todas las cosas aburridas con derivados y fijar $x=1$ al final del día obtenemos $$ f(n) = \frac{(n+1) - \rho(n+2) + \rho^{n+2}}{(\rho - 1)^2} $$ Se puede comprobar que $$ f(0) = \frac{1 - 2\rho + \rho^2}{(\rho - 1)^2} = 1, $$ $$ \begin{align} f(1) &= \frac{2 - 3\rho + \rho^3}{(\rho - 1)^2} = \frac{2 - 4\rho + 2\rho^2 + \rho^3 - 2\rho^2 + \rho}{(\rho - 1)^2} =\\ &= \frac{2(1-\rho)^2+ \rho(\rho - 1)^2}{(\rho - 1)^2} = 2 + \rho \end{align} $$ etc.