¿Admiten todas las variedades paralelizables una métrica plana?

Question

Una variedad simplemente conexa $M$ admite una métrica/conexión plana si y sólo si $M$ es paralelizable.

Qué ocurre/puede ocurrir si $M$ ¿no está simplemente conectado?

Definiciones:

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelizable_manifold

https://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space

Answer 1

Tu afirmación no es cierta, la 3-esfera $S^3$ es un grupo de Lie por lo que es paralelizable pero no admite una métrica plana, ya que las variedades compactas que admiten una métrica plana están finitamente cubiertas por el n-toro $T^n$ .

Answer 2

Cada paralelizable $n$ -dimensional $M$ admite una conexión afín plana en $TM$ (la conexión trivial). Esto, por supuesto, no produce una métrica plana. Sin embargo, si se tiene una variedad paralelizable no compacta conectada (no es necesario suponerla simplemente conectada), admite una métrica riemanniana plana (típicamente incompleta). Se trata de una aplicación de la teoría de inmersión de Hirsch-Smale: Encontrar una inmersión $M\to R^n$ y tirar hacia atrás de la métrica plana. Por otra parte, si $M$ es simplemente conexa y $TM$ tiene una conexión afín plana, entonces $M$ sí es paralelizable. (Si la conexión es completa, aún es más cierto: $M$ es difeomorfo a $R^n$ .)