¿Son espacios de producto interior?

Question

1) Espacio vectorial de $2\times2$ matrices reales y $(A,B)=\text{trace}(AB)$

2) Espacio vectorial formado por todos los polinomios de grado $2$ con $\langle p,q\rangle=p(-1)q(-1)+p(1/2)q(1/2)+p(-1)q(-1)$

¿Cómo puedo utilizar la definición de un espacio producto interior para justificarlas?

Answer 1

El producto interior satisface ( $u,v$ vectores, $A$ escalar)

i) $<u+v,w>=<u,w>+<v,w>$

ii) $<A v,w>=A<v,w>$

iii) $<v,w>=<w,v>$

iv) $<v,v>\geq0\mbox{ and equal to $ 0 $ iff }v=0$

Definición de $<A,B>=\operatorname{trace}(AB)$ y dejando $C$ ser otro $2\times 2$ matriz da:

i) $<A+C,B>=\operatorname{trace}((A+C)B)=\operatorname{trace}(AB)+\operatorname{trace}(CB)$

ii) $<x A,B>=\operatorname{trace}(xAB)=x\operatorname{trace}(AB)=x<A,B>$

iii) $<A,B>=\operatorname{trace}(AB)=\operatorname{trace}(BA)=<B,A>$

iv) $<A,A>=\operatorname{trace}(A^2)\geq0\mbox{ and equal to $ 0 $ iff }A=0$

Puede comprobarlo en 2).