¿qué son las dimensiones?

Question

En primer lugar, ejemplos discretos.

En una pantalla de ordenador puedo especificar cualquier punto "2D" con un solo número (el orden de los píxeles empieza a contar desde el primero en la parte superior izquierda, y sigue, de izquierda a derecha y de arriba a abajo como si leyera hasta el último en la esquina inferior derecha)

Entonces no necesito dos números para especificar la posición, sólo uno.

Lo mismo se puede extender a otras "dimensiones" Puedo utilizar el mismo truco para describir un punto dentro de un cubo discreto, una vez que han cubierto una pantalla como "área" descender un nivel plano

avión

0 .....5
6 .....10
11.....15

luego un cubo (formado por los planos anteriores)

0  ____ 15
16 ____ 31
32 ____ 47

por lo que un solo número puede mapear cualquier punto en un cubo discreto 3d

¿y la continua?

lo mismo utilizando dx diferenciales en lugar de puntos o planos discretos, y eso es todo

(por supuesto como el diferencial no está bien definido como discreto esto no será tan fácil)

De todas formas mi pregunta es:

¿cuál es una buena definición de dimensión que evite estos trucos? ¿hay alguna?

Finalmente otra forma de llevar 3d a 1D, es una transformación reversible(Función de emparejamiento) como esta

3d punto = (x,y,z)

W = x + y * 2^20000 + z * 2^40000

la única "restricción" para este método es que las coordenadas 3d equivalentes deben ser menores que 2^20000, algo muy fácil, al menos en el universo conocido incluso en unidades de Plank

(20000 y 40000 podrían cambiarse, por supuesto, por números menores, pero me gustan los ejemplos concretos)

Answer 1

Hacemos física en un espacio de un cierto número de dimensiones. Creemos que el espacio existe y, como confirman nuestros ojos y nuestras manos, es un lugar grande que necesita coordenadas para especificar sus múltiples ubicaciones. Tu pregunta se basa en esa suposición. Entonces puede que exista algún píxel más pequeño en este espacio. En lugar de especificar n=4 valores de coordenadas para el píxel, quizá podamos simplemente alinear los píxeles y utilizar un número con un valor único para cada píxel.

Un punto de vista diferente es pensar que la dimensión es el número de generadores de traducción diferentes. En una visión mecánica cuántica del mundo, hacemos todas las transformaciones continuas de SL(4,R)+translaciones en los |kets> que representan objetos del mundo real. Éstas incluyen 3 rotaciones ( $\theta_x,\theta_y,\theta_z$ ), 3 refuerzos ( $\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z$ ), 6 tensiones y 4 traslaciones ( $x,y,z,t$ ). Todas estas son transformaciones de Grupo de Lie que se realizan mediante parámetros continuos. Lo que tradicionalmente llamamos las coordenadas de un objeto, no son más que la cantidad de las 4 traslaciones diferentes realizadas para mover un objeto desde el "origen" a la "coordenada". La noción de espacio con coordenadas es superflua del mismo modo que no pensamos ni hablamos de un espacio de 6 dimensiones coordinado por ( $\theta_x,\theta_y,\theta_z,\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z$ ). Incluso puede ser imposible mapear estos 6 parámetros continuos en un parámetro continuo debido a la naturaleza no abeliana del grupo.

Mi argumento de que el espacio de 4 dimensiones es superfluo y de la imposibilidad de mapear las 4 dimensiones en una sola sería más convincente si las 4 traslaciones fueran también no abelianas.