¿qué son las dimensiones?

Question

En primer lugar, ejemplos discretos.

En una pantalla de ordenador puedo especificar cualquier punto "2D" con un solo número (el orden de los píxeles empieza a contar desde el primero en la parte superior izquierda, y sigue, de izquierda a derecha y de arriba a abajo como si leyera hasta el último en la esquina inferior derecha)

Entonces no necesito dos números para especificar la posición, sólo uno.

Lo mismo se puede extender a otras "dimensiones" Puedo utilizar el mismo truco para describir un punto dentro de un cubo discreto, una vez que han cubierto una pantalla como "área" descender un nivel plano

avión

0 .....5
6 .....10
11.....15

luego un cubo (formado por los planos anteriores)

0  ____ 15
16 ____ 31
32 ____ 47

por lo que un solo número puede mapear cualquier punto en un cubo discreto 3d

¿y la continua?

lo mismo utilizando dx diferenciales en lugar de puntos o planos discretos, y eso es todo

(por supuesto como el diferencial no está bien definido como discreto esto no será tan fácil)

De todas formas mi pregunta es:

¿cuál es una buena definición de dimensión que evite estos trucos? ¿hay alguna?

Finalmente otra forma de llevar 3d a 1D, es una transformación reversible(Función de emparejamiento) como esta

3d punto = (x,y,z)

W = x + y * 2^20000 + z * 2^40000

la única "restricción" para este método es que las coordenadas 3d equivalentes deben ser menores que 2^20000, algo muy fácil, al menos en el universo conocido incluso en unidades de Plank

(20000 y 40000 podrían cambiarse, por supuesto, por números menores, pero me gustan los ejemplos concretos)

Answer 1

Es cierto que si sólo tienes un conjunto de puntos, sin estructura matemática adicional, la noción de "dimensión" es problemática, como dices. Pero los espacios que tratamos en física suelen tener estructuras adicionales que hacen que la noción esté bien definida. A menudo, la definición funciona precisando una noción de diferentes "direcciones" en un punto dado, y luego encontrando una forma de contar cuántas de esas direcciones son independientes entre sí.

Por ejemplo, a menudo trabajamos con espacios vectoriales (en los que tiene sentido hablar de sumar vectores, etc.). La dimensión de un espacio vectorial está bien definida: es el número máximo de vectores independientes que se pueden encontrar (de forma que ninguna combinación lineal de ellos sume cero).

Además, a menudo hablamos de espacios geométricos como las variedades diferenciables, en las que existe una noción de "suavidad" de algún tipo. Una vez más, estos manifolds tienen una noción bien definida de dimensión, y una vez más es esencialmente el número de direcciones independientes que puedes identificar en cualquier punto dado. De hecho, una forma de definir la dimensión de una variedad suave consiste en observar que se puede mapear suavemente una subsección de la variedad en un espacio vectorial y, a continuación, calcular la dimensión del espacio vectorial como antes.

Answer 2

Permítanme intentar responder de otro modo, en cierto sentido más matemático, y más directamente al grano. Intuitivamente, la dimensionalidad es el número de números independientes que se necesitan para identificar un punto. Sin embargo, las redefiniciones de las coordenadas tienen que ser continuas, lo que impide "etiquetar los píxeles".

Por cierto, se pueden definir fácilmente mapas uno a uno de $R^d$ a $R$ . Por ejemplo, el punto $$(0.147346,0.295002,0.139523)$$ pueden identificarse con un único número $$0.121493759305402623.$$ Simplemente he tomado los dígitos de las tres coordenadas: de la 1ª; 2ª; 3ª; 1ª; 2ª; 3ª, y así sucesivamente. Sin embargo, este mapa de $R^3$ a $R$ no es continua por lo que no se permite hacerlo cuando calcula la dimensión. En el ejemplo anterior, sólo se reordenaron los 18 dígitos detrás de la(s) coma(s) decimal(es), pero es evidente que también se puede hacer lo mismo con los números reales totalmente precisos. En "teoría de conjuntos", una rama abstracta de las matemáticas, interpretarían esta construcción como una prueba de que los conjuntos $R$ et $R^3$ tienen la misma cardinalidad (un número generalizado de elementos): los teóricos de conjuntos llaman simplemente "continuo" al número de elementos de cualquiera de los dos conjuntos.

En matemáticas, la dimensionalidad -el número de dimensiones- se define mediante conceptos como la dimensión de Hausdorff:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension

Intenta cubrir tu colector con un número mínimo $N$ de bolas de radio pequeño $r$ hay que disponer de una noción de distancia. Una bola es un conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que $r$ . ¿Cuántas bolas necesitas? Bueno, el volumen escala como $r^d$ por lo que necesitará $V/r^d$ bolas o así. Si se toma el logaritmo del número de bolas, será $\ln(V)-d\ln(r)$ y enviando $r\to 0$ es decir $\ln(r)\to-\infty$ se puede extraer el coeficiente $d$ mediante un procedimiento de limitación.

Curiosamente, esta definición también funciona para los fractales que pueden tener dimensiones fraccionarias. Los más sencillos tienen dimensiones que son cocientes de logaritmos de números sencillos (por ejemplo, enteros).

En física, utilizamos el espacio para definir teorías y diferenciamos las coordenadas y los campos con respecto al tiempo (y al espacio, en el caso de la teoría de campos). Por eso, en física se exige automáticamente la condición de "continuidad" o "suavidad". En particular, las teorías cuánticas locales de campos deben vivir en un espaciotiempo con un número bien definido de dimensiones espaciotemporales. Reetiquetar las coordenadas a tu "manera patológica" no preserva la "estructura diferenciable" en el colector espaciotemporal, y como la física depende de las derivadas (diferenciación), tales redefiniciones harían que las leyes físicas carecieran de sentido. Además, las teorías cuánticas de campos se definen en un espaciotiempo que tiene un tensor métrico bien definido; así que también puedo usar la definición de Hausdorff para contar la dimensión. (Hay que evitar las "bolas" para el caso de Minkowski, que tiene una métrica indefinida).

Sin embargo, todas estas cuestiones quedan mal definidas en la gravedad cuántica.

En la definición de dimensión de Hausdorff, necesitaba considerar bolas arbitrariamente pequeñas. Pero no hay objetos más pequeños que la longitud de Planck, la escala de distancia (diminuta) característica de la gravedad cuántica. En consecuencia, el procedimiento de limitación no puede realizarse en gravedad cuántica. De ello se deduce que el número de dimensiones del espaciotiempo no está del todo bien definido. Sólo las dimensiones que son "grandes" -en las que las bolas pueden seguir siendo mucho más pequeñas que el tamaño de estas dimensiones- tienen un significado físico. Sin embargo, el número de dimensiones que son tan pequeñas como la longitud de Planck más o menos (o tan curvadas como el radio de curvatura de la longitud de Planck) no puede definirse.

Y, de hecho, a menudo hay descripciones equivalentes de una teoría que en realidad discrepan sobre el número de dimensiones. Por ejemplo, la teoría M en una variedad K3 -que tiene 11 dimensiones en total- es equivalente a las cuerdas heteróticas en un 3-toro -que sólo tienen 10 dimensiones espaciotemporales-. Además, la correspondencia AdS/CFT muestra que las teorías en espaciotiempos de diferentes dimensiones (por una) son equivalentes: la dimensión radial, "holográfica", es invisible en el Lagrangiano de CFT, que está ligado a su curvatura significativa.

Answer 3

Sólo añadiré a las respuestas de los demás que no estoy seguro de que el paso de discreto a continuo sea tan fácil: ni siquiera un cuadrado continuo finito podría ser "numerado" (es decir: una función (x,y) -> z define tal que cada z es única para un punto) de la forma que has mencionado.

El "truco" en el espacio discreto es que se puede utilizar el módulo para dividir el número en dos cantidades escalares distintas, mientras que no ocurre lo mismo con los números reales (continuos).

Edición: Gracias a Ted Bunn, que me ha iluminado a la existencia de curvas de relleno . El artículo habla de la existencia de una relación biyectiva entre una superficie cerrada y un segmento, que es todo lo que se necesita para ampliar las ideas de la pregunta.

Answer 4

HDE,

Ted Bunn ha esbozado la respuesta matemática, pero tú has llegado a esta pregunta como programador con un ejemplo de programación. Bueno, en ese caso, considere la construcción de programación de un ilimitado 2 matriz dimensional. Aquí hay dos valores independientes para cada píxel, y no hay límite a lo grande que puede llegar a ser cada valor de dimensión de matriz. En su modelo siempre hay un límite, ya que "se envuelve alrededor". Con una matriz de este tipo (hay que admitir que es una ligera idealización para la mayoría de los lenguajes reales) tenemos dos valores independientes para cada píxel: por lo tanto, dos dimensiones.

La razón por la que se utilizan dimensiones es, en parte, que no existe un límite supuesto para cada dirección/dimensión en Física. Si conocía que el Universo tuviera exactamente N partículas y M estados (como algunos postulan ocasionalmente), entonces las matemáticas utilizadas para modelarlo podrían tomar prestado de los modelos informáticos unidimensionales más simples.

Answer 5

Se puede interpretar el número de dimensiones como la cantidad mínima de información necesaria para especificar de forma unívoca un objeto en el "espacio" que nos interesa. Lo que se hace, en esencia, es proporcionar un sistema de enumeración con un esquema de recuento especificado ("girar sobre los bordes"). Sin embargo, al restar un dato, se introduce otro.

Sé que esto es cualitativo, y no sé cómo hacerlo riguroso, pero he aquí un ejemplo de lo que quiero decir:

Supongamos que deseo describir la posición de puntos situados en la circunferencia de un círculo (plano 2D). Entonces puede

1. construir uno de los sistemas de coordenadas. Un punto de dicho sistema se describe mediante un par de números que es único para cada punto.

Otra posibilidad sería 2. fijamos un punto en la circunferencia y lo denominamos origen, y luego decimos que todos los demás puntos están etiquetados con sólo un _número_ que es la distancia a la que se habría desplazado el punto a lo largo de ese círculo.

Pero en # 2 ha introducido una restricción (información adicional). La reducción del número de grados de libertad mediante la introducción de restricciones holonómicas en la mecánica clásica podría servir de analogía.