Yo: Este número es no termina y no se repiten, por lo que este es un número irracional.
Pero, ¿cómo puedo demostrarlo de manera más formal en un más matemáticamente rigurosa?
Respuestas
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Deje $x = 2 + \sum\limits_{k=1}^\infty10^{-k(k+1)/2}$ ser el número en la mano. Si $x$ es racional, es decir $x = \frac{p}{q}$ para algunos enteros positivos $p,q$, se puede elegir un $n > 1$ tal que $10^n > q + 1$. Está claro $$qx \times 10^{n(n-1)/2} = p \times 10^{n(n-1)/2}$$ también es un entero. Sin embargo, la parte fraccionaria de este número es igual a
$$ \left\{ q \times 10^{n(n-1)/2} \left(2 + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k(k+1)/2}\right)\right\} = \left\{ q \times \sum_{k=1}^\infty 10^{-k(k+2n-1)/2} \right\} $$ que pertenece a $(q \times 10^{-n}, (q+1)\times 10^{-n} ) \subset (0,1)$. Desde $(0,1)$ no contiene ningún número entero, esto lleva a una contradicción y, por tanto, $x$ es irracional.
Newb
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ASB
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Suponga que $2.101001000100001…$ es un número racional. Desde el 2 es racional tenemos que $(2.101001000100001…-2)=0.101001000100001…$ es también racional.Entonces existe $ p,q\in \mathbb{Z} $ ( $ q\neq 0 $ ) tal que $ 0.101001000100001…=\frac{p}{q} $.
Que es$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^{\frac{k(k+1)}{2}}}=\frac{p}{q} .$$
Ahora elija $ n\in \mathbb{N} $ tal que $ n=\frac{k_{0}(k_{0}+1)}{2} $ algunos $ k_{0}\in \mathbb{N} $$ 10^{k_{0}}>q $.
Poner $$ x=q10^{n}\left( \frac{p}{q}-\sum_{k=1}^{k_{0}}\frac{1}{10^{\frac{k(k+1)}{2}}}\right). $$
Entonces $$x=10^{n}p-q10^{n}\sum_{k=1}^{k_{0}}\frac{1}{10^{\frac{k(k+1)}{2}}}$$ and hence $x$ es un número entero.
Observar que $$x=q10^{n}\sum_{k=k_{0}+1}^{\infty}\frac{1}{10^{\frac{k(k+1)}{2}}}>0$$y
$$x=q10^{n}\sum_{k=k_{0}+1}^{\infty}\frac{1}{10^{\frac{k(k+1)}{2}}}<q10^{n}\sum_{k=k_{0}+1}^{\infty}\frac{1}{10^{n+k}}=q\sum_{k=k_{0}+1}^{\infty}\frac{1}{10^{k}}<q\sum_{k=k_{0}+1}^{\infty}\frac{9}{10^{k}}=\frac{q}{10^{k_{0}}}<1.$$
Esto es una contradicción ya que el $x$ es un número entero y $0<x<1$. Por lo tanto, nuestra hipótesis es falsa. Por lo tanto $2.101001000100001…$ es irracional.$\square$
Philip Fourie
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Ha $$x=\sum_{n=0}^{\infty}10^{-\binom{n}{2}}$$
Si usted tiene un repitiendo decimal, a continuación, usted tiene un número finito de dígitos que aparece primero, seguido por las cadenas de cualquier longitud que se repiten (cualquier número de veces) más adelante en la representación. Esta representación decimal no es la repetición, ya que para cualquier $k$, podemos identificar una cadena de dígitos $1\overbrace{00\cdots00}^k1$ que está presente en la representación decimal y nunca aparece de nuevo. Si todas esas cadenas que estaban presentes en el no extensibles a parte, tenemos una contradicción, ya que el no extensibles a parte es sólo un número finito de dígitos.
