Estructura lisa de una variedad de dimensión cero

Question

Dado el espacio discreto $X$ y el atlas $A=\{(\{x\},\varphi_x)|x\in X\}$ donde $$\varphi_x:\{x\}\rightarrow\mathbb{R}^0,x\mapsto 0,$$

en qué sentido es el mapa de transición $\varphi_x\circ\varphi_x^{-1}=id_{\mathbb{R}^0}$ ¿Suave? Se me escapa cómo se define la diferenciabilidad para un conjunto de un punto.

¿Tiene que ver con el hecho de que desde que $\mathbb{R}^0$ es de dimensión 0, cualquier mapa sobre él tiene componentes cero y, por tanto, no tiene derivadas parciales?

Answer 1

De acuerdo respondiendo en base a mis comentarios.

Tengo una fórmula $\psi(h)$ en $h \in \mathbb R^n$ con valores $\psi(h) \in \mathbb R$ . Cualquier fórmula. Afirmo, cuando $n=0$ la declaración $$ \lim_{h \to 0} \psi(h) = 0 $$ es vacuamente cierto. De hecho, significa:

Por cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $h$ con $0 < \|h\| < \delta$ tenemos $|\psi(h)| < \epsilon$ .

Esto es vacuamente cierto, por supuesto, ya que en $\mathbb R^0$ no hay $h$ satisfaciendo $0 < \|h\| < \delta$ . Ni siquiera tengo que mirar la fórmula $\psi(h)$ .