Sea $\{a_{n}\}$ sea una secuencia de números no negativos tal que $a_{n} = 2^{n}a_{n - 1}^{3/2}$ . Si $a_{1}$ es suficientemente pequeño, ¿por qué debe $a_{n} \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ ?
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Omran Kouba
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Si $a_{n_0}=0$ para algún número entero positivo $n_0$ entonces $a_n=0$ para cada $n\geq n_0$ y hemos terminado. Así que supongamos que $a_n>0$ para cada $n$ . Sea $b_n=\ln(a_n)$ . Tenemos $$ b_n=n\ln2+\frac{3}{2}b_{n-1} $$ Así que $$ \left(\frac{2}{3}\right)^nb_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}b_{n-1}+ (\ln2)n\left(\frac{2}{3}\right)^n $$ Así, añadiendo de $n=2$ a $n=m$ y cancelando $(2/3)$ obtenemos $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{m-1}b_m= b_{1}+ (\ln2)\sum_{k=2}^{m}k\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} $$ Pero $$\sum_{k=2}^{m}k\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}=8+2(3+n)\left(\frac{2}{3}\right)^{m-1}$$ Así $$ b_m=\left(\frac{3}{2}\right)^{m-1}\ln(2^8a_1)+ (\ln4)(3+m) $$ Por lo tanto, si $2^8a_1<1\iff a_1<\dfrac{1}{256}$ tenemos $\ln(2^8a_1)<0$ et $\lim\limits_{m\to\infty}b_m=-\infty$ Por lo tanto $\lim\limits_{m\to\infty}a_m=0$ . $\qquad\square$
Kf-Sansoo
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Se puede hacer con un poco menos de esfuerzo. Primero suponga que $0 < a_1 < \dfrac{1}{2}$ y calculando varios términos de las secuencias, nos lleva a la conclusión de que:
$0 < a_n < 2^{100n}\cdot a_1^{(\frac{3}{2})^{n-1}} < 2^{100n}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{(\frac{3}{2})^{n-1}} = 2^{100n - \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}} = 2^{b_n}$ .
Es fácil ver que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty} 100n - \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1} = -\infty$ .
Así: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} 2^{b_n} = 0$ .
Por lo tanto, por el teorema de squeeze: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0$
