Es $\int_0^1 \frac{x^p}{1＋x^q} \;dx < \infty$ ?

Question

En $p>-1, \;q>0$ ¿es cierto lo siguiente?

$$\int_0^1 \frac{x^p}{1x^q}\; dx < \infty$$

Agradecería cualquier ayuda. Observé por gráfico suave esto puede ser cierto, pero no estoy seguro. Gracias.

Answer 1

Si $q>0$ y $x \in [0,1]$ entonces $1 \le 1+x^q \le 2$ Así que $$ \int_0^1\frac{x^p}{1+x^q}\;dx $$ converge si y sólo si $$ \int_0^1 x^p\;dx $$ converge. Es decir, si $p>-1$ .

Answer 2

Sugerencia

Si $p>-1$ y $q>0$ entonces, si $x\in (0,1)$ ,

$$\frac{x^p}{1+x^q}=\frac{x^{p-q}}{x^{-q}+1}<x^{p-q}.$$

Answer 3

Con Análisis asintótico :

Cerca de $0$ , $\:1+x^q\sim 1$ Por lo tanto $$\frac{x^p}{1+x^q}\sim_0 x^p,$$ et $\displaystyle\int_0^1\!x^p\,\mathrm dx<\infty$ si $p>-1$ .