Ejercicio sobre la caracterización de grupos abelianos libres

Question

Me preguntaba si alguien puede por favor revisar mi trabajo en un problema de tarea. Esto es del texto del graduado Hungerford. Capítulo 2.1, número 3.

Sea $X=\{a_i\ |\ i\in I\}$ sea un conjunto. Entonces el grupo abeliano libre sobre $X$ es isomorfo al grupo definido por los generadores $X$ y las relaciones $$\{a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}=e\ |\ i,j\in I\}.$$ Prueba: Sea $F$ sea el grupo abeliano libre sobre $X$ y que $G$ sea el grupo definido por los generadores $X$ y las relaciones $\{a_ia_ja_i^{-1}a_j^{-1}=e\ |\ i,j\in I\}$ . Dado que dos generadores cualesquiera de $X$ conmutan, se deduce que $G$ es abeliano. Ahora bien, como $F$ es abeliano libre en $X$ y puesto que $G$ es un grupo abeliano, la inclusión $\iota:X\rightarrow G$ induce un homomorfismo de grupos abelianos $f:F\rightarrow G$ tal que $fh=\iota$ donde $h:X\rightarrow F$ . Tenemos $f(h(X))=\iota(X)=X$ . Así que $X$ es a imagen de $f$ . Pero como $X$ genera $G$ la imagen de $f$ es todo $G$ para que $f$ es épico. Estoy teniendo muchos problemas para probar que $f$ también es mónico. Alguien puede leer esto y decirme si voy por buen camino. Muchas gracias.

Answer 1

Lo que has escrito hasta ahora me parece bien, (modulo la confusión ahora arreglada).

Para continuar: Intenta encontrar una flecha de grupo $G → F$ . Utilizar la propiedad universal del grupo libre sobre $X$ (de los cuales $G$ es un grupo de factores). Luego utiliza el primer teorema del isomorfismo (o la propiedad universal de los grupos factoriales, como quieras llamarlo).

Entonces no muestres eso $f$ es mónico, pero que tiene un inverso a la izquierda (esto hace que el argumento sea más sólido ya que entonces no necesitas demostrar "mónico + épico = iso en $\mathrm{Grp}$ ", sino sólo "invertible izquierda + épica = iso", que es teórico-categorial y directo).