Demostrar que $\sin(-x)=-\sin(x)$ y $\cos(-x)=\cos(x)$ utilizando la conjugación compleja

Question

La definición de $\sin$ y $\cos$ viene dada por la función compleja,

$$f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C},\qquad f(x)=e^{\text{i}x}=\cos(x)+\text{i}\sin(x)$$

Es decir, cos es la parte real de $e^{ix}$ y sin denota la parte inmaginaria de $e^{ix}$ .

Ahora sabemos que $\forall z_i\in\mathbb{C}$

$$\overline{\sum_{i\in I}z_i}=\sum_{i\in I}\bar{z_i}$$

por lo tanto $e^x:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$

$$\overline{e^{ix}}=e^{\overline{ix}}$$

para el lado izquierdo obtendría

$\cos(x)-\text{i}\sin(x)$

¿Puede alguien explicar por qué tenemos para el lado derecho

$\cos(-x)+ \text{i}\sin(x)$

Y también cómo derivamos de la Fórmula $$\cos(-x)+ \text{i}\sin(x)=\cos(x)-\text{i}\sin(x)$$ que obtuvimos de arriba que

$\sin(-x)=\sin(x)$

La ecuación

$\cos(-x)=\cos(x)$

está claro

Answer 1

Es no cierto que $\sin x$ es la parte imaginaria de $e^{ix}$ si $x$ es complejo no real.

Si $x$ es real, entonces $$ \overline{ix}=\bar{i}\bar{x}=-ix $$ Por lo tanto, tras constatar que $\overline{e^z}=e^{\bar{z}}$ como tú, $$ \overline{\cos x+i\sin x}=\overline{e^{ix}}=e^{\overline{ix}}=e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x) $$ Por lo tanto $$ \cos x-i\sin x=\cos(-x)+i\sin(-x) $$ y se demuestra la igualdad.

Tenga en cuenta que cuando $x$ es compleja la derivación es ligeramente diferente, principalmente porque $$ \overline{\cos x+i\sin x}\ne\cos x-i\sin x $$ en general.

Por otra parte, la definición de $\sin z$ para complejos $z$ es $$ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} $$ et $\sin(-z)=-\sin z$ es obvio.

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Para completar, si $z=a+ib$ entonces $e^{iz}=e^{-b+ia}=e^{-b}(\cos a+i\sin a)$ por lo que la parte real de $e^{iz}$ es $e^{-b}\cos a$ que no es $\cos z$ en general, por la sencilla razón de que $\cos z$ no es a su vez real en general y se puede observar que la parte real es $\cos z$ sólo si $b=0$ es decir, si $z$ es real.

Answer 2

Normalmente, esa primera ecuación es un teorema (fórmula de Euler) más que una definición. Pero si empiezas por ahí, fíjate: $$ e^{-ix} = e^{i(-x)} = \cos(-x) + i \sin(-x) $$ A partir de la fórmula de la serie de potencias $e^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ vemos que $$ e^{-ix} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-ix)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\overline{ix})^k}{k!} = \overline{e^{ix}} $$ Por lo tanto $$ e^{-ix} = \overline{e^{ix}} = \overline{\cos(x) + i \sin(x)} = \cos(x) - i \sin(x) $$ Ahora sólo equiparas partes reales e imaginarias.