Demuestre que $g_1(\mu_1,\sigma_1)\ast g_2(\mu_2,\sigma_2)=g\left(\mu_1+\mu_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right)$

Question

La definición (convención) que he estado utilizando para la transformada de Fourier es $$\mathscr{F}[f(t)]=g(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{t=-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omega t}dt\tag{1}$$ y la inversa como

$$\mathscr{F}^{-1}[g(\omega)]=f(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{\omega=-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{-i\omega t}d\omega$$

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Sea $g_1(t; \mu_1,\sigma_1)$ y $g_1(t;\mu_2,\sigma_2)$ sean dos funciones gaussianas de $t$ con media $\mu$ a $\sigma$ como se indica.

Demuestre que $g_1(\mu_1,\sigma_1)\ast g_2(\mu_2,\sigma_2)=g\left(\mu_1+\mu_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right)$

Por el teorema de convolución

$$\mathscr{F}(g_1 \ast g_ 2)=\sqrt{2\pi}\mathscr{F}(g_1)\mathscr{F}(g_2)\tag{2}$$ e inserción de $(1)$ en $(2)$

$\mathscr{F}(g_1 \ast g_ 2)=\sqrt{2\pi}\left[\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\operatorname{\Large\int}_{t_1=-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(t_1-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right)e^{i\omega t_1}dt_1\right]\left[\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}{\Large\int}_{t_2=-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(t_2-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right)e^{i\omega t_2}dt_2\right]$

es en este punto en el que estoy completamente atascado y no sé cómo proceder para completar la prueba.

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La respuesta dada por el autor es:

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No entiendo la solución de los autores por 3 razones; en primer lugar, no entiendo por qué no hay signos integrales en el lado derecho de la ecuación $(20)$ & $(21)$ .

En segundo lugar, $t$ y $\omega$ son los pares de Fourier en esta transformación, así que ¿por qué el autor utiliza $\mu_1$ y $\mu_2$ en los exponenciales complejos?

Por último, el autor menciona la propiedad de traslación de las transformadas de Fourier: $$\mathscr{F}(t-t_0)=e^{i \omega t_0} g(\omega)$$ pero no veo cómo se utiliza esto en la respuesta.

¿Hay alguien que pueda ayudarme a entender la solución de los autores o darme alguna pista o consejo sobre cómo completar la prueba que he empezado?

Answer 1

El truco está en simplificarlo todo completando el cuadrado y reconociendo que cualquier distribución normal se integrará a 1.

Por ejemplo $$\mathscr{F}(g_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}} \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\frac{(t_1-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} + i\omega t_1)dt_1$$ completando el cuadrado $$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}} \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\frac{t_1^2-2t_1(\mu_1+i\sigma_1^2\omega)+(\mu_1+i\sigma_1^2\omega)^2 - 2\mu_1 i\sigma_1^2\omega + 4\sigma_1^4\omega^2}{2\sigma_1^2})dt_1 $$

$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}} \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-\frac{(t_1-(\mu_1+i\sigma_1^2\omega))^2}{2\sigma_1^2}) \exp(\mu_1 i\omega - 2\sigma_1^2\omega^2) dt_1 $$

Integrando la distribución normal con media $\mu_1+i\sigma_1^2\omega$ y varianza $\sigma_1^2$ hace esto

$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(\mu_1 i\omega - 2\sigma_1^2\omega^2)$$

Del mismo modo $$\mathscr{F}(g_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(\mu_2 i\omega - 2\sigma_2^2\omega^2)$$

Así que $$\mathscr{F}(g_1 * g_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp((\mu_1+\mu_2) i\omega - 2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\omega^2)$$

Entonces la transformada inversa de Fourier de esto es $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \exp((\mu_1+\mu_2-t) i\omega - 2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\omega^2) d\omega $$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{\omega^2-i\omega\frac{\mu_1+\mu_2-t}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)} -(\frac{\mu_1+\mu_2-t}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)})^2 +(\frac{\mu_1+\mu_2-t}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)})^2} {\frac{1}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}) d\omega $$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{(\omega^2-i\frac{\mu_1+\mu_2-t}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)})^2} {\frac{1}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}) \exp((\frac{\mu_1+\mu_2-t}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)})^2) d\omega $$

Integrando la distribución normal con media $i\frac{\mu_1+\mu_2-t}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}$ y varianza $\frac{1}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$ hace esto

$$=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}} \exp((\frac{t-(\mu_1+\mu_2)}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)})^2)$$

que es $g(\mu_1+\mu_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})$ como desee.