Utilización del símbolo $G/N$ para el grupo cociente

Question

Estoy leyendo Álgebra Abstracta de Dummit y Foote, 3ª edición y tengo una pregunta sobre el uso que hacen del símbolo $G/N$ .

En la página 76, definen el grupo cociente de la siguiente manera:

Definición. Sea $\varphi:G\to H$ sea un homomorfismo con núcleo $K$ . El grupo cociente, $G/K$ es el grupo cuyos elementos son las fibras de $\varphi$ con la siguiente operación de grupo: si $X$ es la fibra por encima de $a$ y $Y$ es la fibra por encima de $b$ entonces el producto de $X$ con $Y$ se define como la fibra sobre el producto $ab$ .

Así que en este punto, el grupo cociente $G/K$ se define sólo cuando sabemos $K$ es el núcleo de algún homomorfismo.

Más adelante, en la sección de la página 82, demuestran la siguiente proposición:

Proposición 7. Un subgrupo $N$ del grupo $G$ es normal si y sólo si es el núcleo de algún homomorfismo.

En la prueba dicen "si $N$ es un subgrupo de $G$ , dejemos que $H=G/N$ ". En este punto, no han demostrado que cada subgrupo es el núcleo de algún homomorfismo. De hecho, eso es lo que intentan demostrar aquí. Mi pregunta es por qué pueden utilizar la notación $G/N$ antes de demostrar que $N$ ¿es el núcleo?

Answer 1

En general, cuando $H$ es un subgrupo de $G$ , $G/H$ denota el conjunto de cosets izquierdos de $G$ modulo $H$ : $$G/H=\{gH\mid g\in G\},$$ y de forma similar $H\backslash G$ es el conjunto de cosets derechos de $G$ modulo $H$ : $$H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}.$$

Si se intenta dotar a estos conjuntos de una operación deducida de la operación de grupo sobre $G$ se demuestra que esto es posible si y sólo si $H$ es un subgrupo normal de $G$ . En este caso, los cosets izquierdos y los cosets derechos de $G$ modulo $H$ son el mismo conjunto, que se denomina grupo cociente de $G$ por $H$ .

Answer 2

Hasta el Teorema 3 está hablando de cómo es un grupo cociente que es $G/N$ donde $N$ es el núcleo de algún homomorfismo de $G$ .

A continuación, en la parte superior de la página 80, está hablando de lo que si un subgrupo más general utilizado para definir un grupo cociente al igual que el grupo cociente explicado hasta el Teorema 3.

Resulta que la operación no está bien definida porque la operación sobre cosets como $uN \: vN$ no es necesariamente igual al coset $uvN$ a menos que $g N g^{-1} \in N$ . Esto significa que $N$ debe ser un subgrupo normal de $G$ y sin ella, las operaciones sobre cosets no están bien definidas.

Luego, basándose en ese hecho, demuestra que un subgrupo $N$ debe ser un núcleo de algún homomorfismo.

Answer 3

No estoy seguro de su libro, pero en general la notación $G/H$ se utiliza para el conjunto de cosets izquierdos de $H$ Eso es, $G/H = \{gH : g \in G\}$ . Esto tiene sentido para cualquier subgrupo $H$ . Se puede intentar definir una operación de grupo sobre este conjunto mediante $(gH)(g'H) = gg'H$ pero esto está bien definido si y sólo si $H$ es un normal subgrupo. (Y una vez que lo es, hay un homomorfismo suryectivo $G \to G/H$ por $g \mapsto gH$ cuyo núcleo es $H$ - esto hace que concuerde con tu definición de grupo cociente).