Una pregunta básica sobre la función de densidad conjunta

Question

Así que me dan una función de densidad conjunta $f(x,y) = \frac{3}{2}(x^2 + y^2)$ definido para $0 \leq x \leq 1$ y $0 \leq y \leq 1$ y estoy tratando de encontrar la función de densidad para $X^\frac{1}{2}$ . Mi plan para hacer esto era encontrar el cdf para la función y luego derivar esto. Haciendo esto me da, $$\int_0^{x^\frac{1}{2}} \int_0^{1} \frac{3}{2}(x^2 + y^2) \,dy\,dx$$ que derivando esto me da una respuesta de $\frac{3}{4}x^\frac{1}{2} + \frac{1}{4}x^\frac{-1}{2}$ que no coincide con la respuesta que publicó mi profesor. ¿Hay algo fundamentalmente erróneo en mi planteamiento?

Answer 1

Si integras f(x,y) = (3/2)(x^2 + y^2) con respecto a y sobre el soporte (0,1) obtendrás el marginal f(x) = (1/2)x^2 + (1/2) Digamos que g(x) = X^(1/2) es la transformación que quieres así que encuentra g-1(x) = X^2 entonces f(Y) = f(g-1(x)) ( = [(3/2) (x^2)^2 + (1/2)] * [(d/dx)(x^2)] = [(3/2)*(x^4) + (1/2)] * [2x] = 3x^5 + x