Convergencia de secuencias en conjuntos cerrados

Question

Cómo probar que cualquier secuencia en $A\in R^n$ tiene límite también en A si A es cerrado?

Me interesa la demostración sin referirme a la definición de conjunto cerrado como un conjunto en el que cualquier límite de secuencias está también en conjunto cerrado. Por el contrario, estoy interesado en la lógica opuesta: cómo el hecho de que el conjunto es cerrado garantiza que cualquier secuencia tendrá límite también se encuentra en este conjunto.

Estaré muy agradecido por la ayuda.

Answer 1

Depende de lo que se entienda por "cerrado". Si tomamos la definición de abajo, la afirmación es trivial.

Se dice que un conjunto es cerrado siempre que contenga todos sus puntos límite.

Sea $(a_{n})_{n}$ sea una secuencia en $A$ convergiendo hacia $a$ . Es decir, para cada barrio $V$ de $a$ existe $N$ tal que para todo $n\geq N$ , $a_{n}$ está en $V$ . ¿Puede demostrar que $a$ es un punto límite de $A$ ?

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Si, en cambio, tomamos la definición que figura a continuación, habrá que trabajar un poco más.

Se dice que un conjunto es cerrado si es el complemento de algún conjunto abierto.

Sea $A$ sea un conjunto cerrado y $(a_{n})_{n}$ una secuencia en $A$ convergiendo hacia algún $a$ . Por la definición anterior, existe algún conjunto abierto $B$ tal que $A^{c}=B$ . Para llegar a una contradicción, supongamos $a$ está en $B$ . Desde $B$ es una vecindad de $a$ se deduce que la secuencia $(a_n)_n$ es finalmente en $B$ . Sin embargo, esto es una contradicción, ya que se suponía que la secuencia $(a_{n})_{n}$ toma valores en $A=B^c$ .