Discutir la convergencia de la serie $\sum_{n=2}^\infty(\ln{n})^{-\ln(\ln{n})}$

Question

Discutir la convergencia o divergencia de la serie donde el término general $x_n$ viene dada por

$$x_n=(\ln{n})^{-\ln(\ln{n})},\,\,n\ge 2.$$

Answer 1

Tenemos que $$ (\ln n)^{-\ln \ln n}=\mathrm{e}^{-(\ln \ln n)^2}>\mathrm{e}^{-\ln n}=\frac{1}{n}, $$ para $n$ suficientemente grande ya que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{(\ln \ln n)^2}{\ln n}=\lim_{N\to\infty}\frac{(\ln N)^2}{N}=0. $$ De ahí la serie $$ \sum_{n=2}^\infty(\ln n)^{-\ln \ln n} $$ diverge a infinito, en virtud de la prueba de comparación.