Demostrando que $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^n} = \infty$

Question

Me han dicho que puedo demostrarlo mostrando dos cosas, primero que $$f(x) = \frac{e^x}{x^n}>\frac{e^n}{n^n}, \quad (x > n)$$ entonces $$f'(x) = \frac{e^x(x-n)}{x^{n+1}}>\frac{e^{n+1}}{n^{n+1}}, \quad (x > n+1)$$ He conseguido mostrar ambas cosas, la primera es bastante fácil y la segunda sigue $$\frac{e^x(x-n)}{x^{n+1}} = \frac{e^x}{x^n} - \frac{n}{x}\frac{e^x}{x^{n}} > \frac{e^x}{x^n}\bigg(\frac{1}{n+1}\bigg) > \frac{e^{n+1}}{n^{n+1}}$$

pero no veo cómo esto me ayuda a deducir que

$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^n} = \infty$

Sólo para aclarar, sé cómo mostrar esto de algunas otras maneras, ¡estoy interesado en mostrarlo de esta manera!

Answer 1

Recuerde que $n$ es fijo . Así que has mostrado un límite inferior que se parece a

$$f'(x) > \frac{e^{n + 1}}{n^{n + 1}} = c > 0$$

una vez $x$ es lo suficientemente grande. Una fácil aplicación del teorema del valor medio muestra que esto obligará a $f(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ geométricamente, $f$ debe situarse por encima de una línea con pendiente $c$ . (Tenga en cuenta que en realidad ni siquiera necesita saber $f(x) > e^n/n^n$ aquí...).

Answer 2

Puede aplicar la regla de L'Hospital $n$ veces para conseguir:

$\lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{e^x}{x^n} = \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{e^x}{n!} = n!\lim_{x \rightarrow \infty}e^x = \infty$

Answer 3

$e^x =$

$1 + x + \frac{x^2}{2!} + ...\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} .....$

Por lo tanto:

$e^x \gt \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ para $x \gt 0$ , $ n \in \mathbb{N}$ , $n \ge 1$ .

$\frac{e^x}{x^n} \gt \frac{x}{(n+1)!}$ .

Por fin:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{x^n} \ge \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{(n+1)!} = \infty$ .