Comportamiento de convergencia de $\sum_p \frac{1}{p \log p}$ y generalización.

Question

La serie armónica $$\sum_{n\in\mathbb N} \frac{1}{n}$$ es bien sabido que es divergente. Utilizando la prueba de condensación de Cauchy se ve inmediatamente que incluso $$\sum_{n\in\mathbb N} \frac{1}{n\log n}$$ es divergente. Sea $p_i$ sea el $i$ primo. Euler demostró en 1737 que $$\sum_{i\in\mathbb N} \frac{1}{p_i}$$ es divergente.

Mi pregunta : ¿Qué sabemos sobre el comportamiento de convergencia de $$\sum_{i\in\mathbb N} \frac{1}{p_i \log p_i}?$$ Más información : Sea $(a_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq \mathbb N$ sea una sucesión estrictamente creciente de números naturales con $$\sum_{n\in\mathbb N} \frac{1}{a_n}=\infty.$$ ¿Qué sabemos sobre el comportamiento de convergencia de $$\sum_{i\in\mathbb N} \frac{1}{a_i \log a_i}?$$

Answer 1

La convergencia depende sólo de la rapidez con que la secuencia $\{a_i\}$ aumentos. Por ejemplo, si $a_i=p_i$ por la PNT o sólo su versión más débil, el límite de Chebyshev, tenemos: $$ p_i \gg i \log i,\tag{1}$$ por lo tanto: $$ \sum_{i\geq 2}\frac{1}{p_i \log p_i}\leq C\cdot \sum_{i\geq 2}\frac{1}{i \log^2 i}\tag{2}$$ y la RHS es convergente por la prueba de condensación de Cauchy.