Cuáles son las funciones completas $f$ tal que $|f'(z)| \leq |f(z)| \ ? $

Question

¿Podría alguien aconsejarme sobre cómo determinar todas las funciones completas $f$ tal que $|f'(z)| \leq |f(z)|, \forall z\ ?$

Las sugerencias serán suficientes, gracias.

Answer 1

Pista: Utilice el hecho general de que si $f,g$ son funciones enteras con $|f| \leq |g|$ entonces $f=cg$ con $|c| \leq 1$ (que se deduce del Teorema de Liouville).

Answer 2

Pista 1 A menos que $f \equiv 0$ demuestre que $f$ no puede tener ningún cero. Si $z_0$ es un cero de orden $m$ para $f$ ¿Qué ocurre si dividimos ambos lados por $(z-z_0)^{m-1}$ ?

Pista 2 $\frac{f'}{f}$ es entera y acotada.