En el juego de la ruleta rusa (no recomendado por el autor), se introduce un solo cartucho en el tambor de un revólver, dejando vacías las otras cinco cámaras del tambor. A continuación, se hace girar el tambor, se apunta a la cabeza y se aprieta el gatillo.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de seguir vivo después de jugar N veces?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de sobrevivir (N-1) turnos en este juego y luego recibir un disparo la enésima vez que se aprieta el gatillo?
(c) ¿Cuál es el número medio de veces que un jugador tiene la oportunidad de apretar el gatillo en este macabro juego?
Respuestas
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Jon Mark Perry
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4480
El jugador dispone de un $\dfrac56$ probabilidad de supervivencia por partido.
a) Para sobrevivir $N$ juegos es $\left(\dfrac56\right)^N$
b) $\left(\dfrac56\right)^{N-1}\dfrac16$
c) La respuesta a b) es a distribución geométrica con $p$ siendo la probabilidad de éxito, (¡en este caso fracaso!), por lo que la media es $\dfrac{1}{\frac16}=6$ .
(1) $({5\over6})^N$ necesitas que no te disparen por $N$ turnos consecutivos.
(2) $({5\over6})^{N-1}{1\over6}$
(3) El número esperado es $6$ ya que la probabilidad es $1\over6$ .
En cuanto a una demostración rigurosa utilizando la definición, el número esperado es
$1({1\over6})+2({5\over6})({1\over6})+3({5\over6})^2({1\over6})+...$
$=(({1\over6})+({5\over6})({1\over6})+({5\over6})^2({1\over6})+...)+(({5\over6})({1\over6})+({5\over6})^2({1\over6})+...)+(({5\over6})^2({1\over6})+...)+...$
$={1\over6}({1\over1-{5\over6}})+{1\over6}({5\over6})({1\over1-{5\over6}})+{1\over6}({5\over6})^2({1\over1-{5\over6}})+...$
$={1\over6}({1\over1-{5\over6}})({1\over1-{5\over6}})$
$=6$
NewK
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1
Otra forma de entender lo que hay que hacer en la carta (c) :
En (b) descubrimos la posibilidad de sobrevivir $N$ gira es:
$p(N) = (\frac{5}{6})^{N-1}(\frac{1}{6})$
Por definición, el valor esperado de una variable es:
$<N> = \sum_{N=1}^\infty p(N) * N$
Aquí pasamos de uno (muerto al primer disparo) a infinito, porque el juego puede ser eterno.
Así que..,
$<N> = \sum_{N=1}^\infty (\frac{5}{6})^{N-1}(\frac{1}{6}) N = \frac{1}{6} \cdot \sum_{N=1}^\infty (\frac{5}{6})^{N-1} N$
Esa es la serie que necesitas calcular; luego sólo tienes que utilizar cualquier método ( así o cualquier otro sugerido) y encontrar eso:
$<N> = \frac{1}{6} \cdot 36 = 6$
( Wolfram lo confirma)
