Cuando alguien se propone demostrar un teorema, puede ser capaz de ver, por ejemplo, un par de resultados que si se demuestran podrían darle el teorema. Pero no veo cómo alguien podría captar mentalmente docenas de lemas/identidades y encajarlos simultáneamente en su cabeza para demostrar que se pueden utilizar para demostrar el teorema original. Entonces, ¿cómo se les ocurren a los investigadores todos esos lemas para su teorema? ¿Se limitan a anotar cualquier identidad/propiedad interesante que encuentran y a recopilar montones de cosas, para luego volver atrás y ver si alguna de ellas encaja? Además, mientras encajan las piezas, por así decirlo, ¿cómo tratan los lemas/identidades? Me imagino que van a querer ser capaz de mirar a todos ellos o múltiples rápidamente, por lo que no sería eficiente tener cada uno guardado como un archivo separado con $15+$ abrir de una vez. ¿La gente guarda los lemas, teoremas, etc. relevantes en un único archivo para verlos cuando escriben sus trabajos, o qué? ¿Cómo se gestiona toda esa información?
Respuestas
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Es muy difícil. Pero una buena manera de hacerlo es trabajar hacia atrás.
He aquí una especie de ciclo:
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Empieza por el resultado que intentas demostrar.
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Encuentre una fórmula pertinente. (esta es la parte difícil)
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Utilízalo para manipular el resultado en una expresión más simple. (suele indicarse con "por tanto, basta con demostrar que...").
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Repite.
A veces es posible saltarse por completo el segundo paso.
Un ejemplo es el capítulo 7 de la obra de Apostol Introducción a la teoría analítica de números con no menos de ocho lemas.
He aquí una variación del ciclo descrito por @TheSimpliFire. No es tanto un "ciclo" como un "árbol" o una "recursión". También lo considero el método "descendente" de escritura de pruebas.
Para el primer paso de la recursión, escribe el teorema que quieres demostrar. Luego escribe una demostración muy corta, de 2, 3 o 4 pasos. Cada uno de esos pasos puede incluir su propio lema claramente enunciado pero aún no demostrado (aunque a veces la demostración de un paso puede completarse sin ningún lema no demostrado). Así que ahora su teorema original se ha reducido a 2, 3 o 4 lemas no demostrados.
Para el siguiente paso de la recursión, repita el paso anterior para cada uno de los 2 o 3 o 4 lemas no demostrados: escriba una demostración muy breve de cada lema, dividiéndola en un pequeño número de pasos, cada uno de los cuales puede incluir su propio lema claramente enunciado pero aún no demostrado.
Continúa el proceso. Si lo haces bien, el número de lemas no demostrados no aumentará exponencialmente, aunque sí puede crecer hasta más de 15 lemas antes de que la demostración se acerque al final.
Además, hay que tener en cuenta una cosa. Al escribir su prueba, tiene la historia completa de matemáticas escritas, una rica y profunda tradición de probado teoremas que puedes aplicar.
Creo que las personas con más experiencia en investigación matemática ya han asimilado la mayoría de esos "lemas", de una forma u otra, para que sus procesos mentales no tengan que tratarlos como cosas "nuevas", ni como "cosas que recordar". Más bien, esos "lemas" no se consideran "lemas", sino hechos reales y observables sobre el entorno. Por tanto, son más subliminales que ocupan espacio en la mente consciente.
Parte de la rareza del estilo de escritura en matemáticas es que la organización convencional es, de hecho, organizar las cosas de una manera que está lógicamente ordenada, aunque quizás sea contraintuitivo (y muy diferente del orden de los acontecimientos en el descubrimiento). Así que parte de la respuesta a "cómo se las arregla la gente con esta extraña organización" es que, en realidad, no lo hacen, sino que se limitan a formular las cosas de ese modo una vez que todo está resuelto.
Del mismo modo, en cuanto a la pregunta "¿cómo podría alguien saber qué hacer a continuación?", la respuesta suele ser que el orden real de los acontecimientos era totalmente distinto, y que esa cuestión específica nunca se planteó... aunque la versión reordenada de las cosas pueda sugerir con fuerza que sí/sí se planteó.
