¿Dónde van los círculos cuando se proyecta estereográficamente el dodecaedro?

Question

Voy a hacer lo que creo que es seguramente una pregunta tonta y simple pero no puedo por mi vida resolver esto. Estoy interesado en proyectar estereográficamente un dodecaedro al plano (en un programa informático interactivo). Esto se ha implementado y aquí está una imagen de ejemplo:

Imaginemos ahora que en las caras del dodecaedro hubiera círculos inscritos cuyos centros fueran los centros de las caras y que fueran tangentes a las aristas del dodecaedro (sus centros serían los puntos rojos de la imagen anterior). La proyección estereográfica proyecta círculos sobre círculos, por lo que en las regiones del plano de arriba esperaríamos ver círculos inscritos.

Sabemos que estos círculos serían tangentes a los lados en las proyecciones de los puntos que se encuentran a mitad de camino a lo largo de cada arista del dodecaedro y sobre esta base he calculado estos círculos. Sin embargo, el resultado es el siguiente:

Como puedes ver, los círculos interiores son efectivamente tangentes a los lados de las regiones. Sin embargo, los círculos de las regiones exteriores están bastante desordenados y no se encuentran en las regiones. ¿Por qué?

Para ser explícitos, para calcular las posiciones de estos círculos en el plano:

1. Para cada cara, encuentro tres puntos medios de aristas en el contorno de esa cara.
2. Proyecto estos puntos medios sobre el plano estereográficamente.
3. Tres puntos definen una circunferencia y calculo el centro y el radio de esta circunferencia utilizando la misma idea que aquí . Estoy bastante seguro de que este último cálculo no tiene errores y se puede ver que en las regiones interiores parece ser exacto.

Answer 1

He pensado poner al día a todo el mundo diciendo que los comentarios han solucionado mi problema: había estado proyectando los vértices correctamente y, por alguna razón, suponiendo que podía dibujar líneas rectas entre ellos. En lugar de eso, por supuesto, las líneas rectas se proyectan en general en arcos circulares y, una vez solucionado esto, he conseguido que la simulación interactiva funcione. He aquí una imagen:

y aquí hay un enlace a la página web donde se muestra esta proyección en directo donde están los controles:

1. Gira el dodecaedro alrededor de un eje horizontal moviendo el ratón en la posición $x$ -de la pantalla y gírelo alrededor del eje vertical moviendo el ratón en la dirección $y$ -eje de la pantalla.
2. Haz clic y arrastra para girar el punto de vista.
3. Haz clic con el botón central (con la rueda de desplazamiento) para desplazar el punto de vista.

Sobre el plano azul se proyectan las aristas y los vértices (en naranja) del dodecaedro pero también las proyecciones de los incircunferencias de cada cara pentagonal (en rojo) dando una solución viva al problema de encontrar una colección finita de circunferencias en el plano tales que cada una toque a otras 5 (discutido, por ejemplo, aquí ). Los puntos rojos son las proyecciones de los centros de los círculos sobre la esfera, lo que muestra que la proyección no conserva los centros de los círculos.