Estoy echando un vistazo a Ahlfors's Análisis complejo, tercera edición . En la sección 2.3 "Mapas sobre un rectángulo", el autor habla de cómo extender un mapa conforme de un rectángulo al semiplano superior a una función meromórfica sobre el plano entero.
Esto es lo que Ahlfors hace allí: El mapa conforme original $f$ a partir de un rectángulo fijo $R$ desde el plano medio superior $\mathbf H$ viene dada por una fórmula de Schwarz-Christoffel. Ahlfors señala que $f$ tiene una singularidad (correspondiente a $\infty$ ) en algún lugar de la frontera de $R$ . A continuación, extiende el mapa a todo el plano aplicando el principio de reflexión de Schwarz en cada borde de $R$ . Por último afirma tener un mapa meromorfo en todo el plano.
Pero creo que aquí hay algunas sutilezas. En primer lugar, no es obvio que la función resultante en el plano no tenga singularidades aisladas esenciales. Dado que la singularidad mencionada anteriormente se encuentra en el límite de un segmento de línea donde las funciones están "pegadas", no veo cómo se comporta la función grande alrededor de esta singularidad.
En segundo lugar, existe el problema de dónde colocar la singularidad. Ahlfors la puso en medio de una de las aristas, pero me parece que complica el proceso de pegado a lo largo de la arista. Se puede poner en uno de los vértices, pero me temo que podría complicar el razonamiento sobre el comportamiento de la singularidad, porque en los vértices es donde el integrando de la fórmula S-C puede desbocarse, es decir, en el dominio del integrando debería haber alguna rendija desde la imagen de los vértices hacia abajo para recoger algunas ramas del integrando.
Existe una pregunta relacionada Cartografía Schwarz-Christoffel del semiplano superior aquí, pero no estoy seguro de si mi pregunta es idéntica o no a la pregunta formulada o respondida allí.
¿Cómo puedo abordar estas sutilezas?
