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Podemos wlog considerar un sistema de referencia en el que el medio plasmático es estático, es decir $V^{\mu}$ sólo tiene un componente temporal: $$-1 = ||V||^2~=~g_{00} V^0V^0 \qquad \Rightarrow \qquad V^0 ~=~ (-g_{00})^{-1/2}. \tag{A}$$
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Suponemos que la métrica $g_{\mu\nu}$ no tiene ningún componente mixto temporal-espacial.
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La Ec. (3) de la Ref. 1 va al centro de la Controversia Abraham-Minkowski $^1$ . La Ec. (3) es equivalente a la propuesta de Minkowski de que el vector de 3 ondas del fotón en un medio refractivo es $$|{\bf k}|~=~n\frac{\omega}{c},\tag{1.10}$$ cf. ec. (1.10) en Ref. 2. De forma equivalente $^2$ $$ n^2~\stackrel{(1.10)}{=}~\frac{g_{ab}k^ak^b}{-g_{00}(k^0)^2} ~\stackrel{p=\hbar k}{=}~1+\frac{p^2}{(p^0\sqrt{-g_{00}})^2} ,\qquad p^2~:=~ g_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu},\tag{B}$$ que es la ec. (3).
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En índice de refracción $n$ es por definición el recíproco velocidad de fase . Suponiendo que no haya dispersión, podemos identificarlo con el recíproco velocidad de grupo $$|{\bf v}|~=~\frac{c}{n}.\tag{C}$$ Equivalentemente $$\frac{1}{n^2}~\stackrel{(C)}{=}~\frac{g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b}{-g_{00}(\dot{x}^0)^2},\qquad \dot{x}^{\mu} ~=~\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}.\tag{D}$$
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La ecuación (1.10) y la condición de velocidad de la luz (C) sugieren que en coordenadas adaptadas $$ \dot{x}^a~=~ep^a, \qquad \dot{x}^0~=~ en^2p^0, \tag{E}$$ donde $e$ es un einbein/ Multiplicador de Lagrange . En forma covariante, la ec. (E) queda como sigue $$ \frac{\dot{x}^{\mu}}{e}~=~p^{\mu} -(n^2-1)V^{\mu} (p\cdot V)~=~G^{\mu\nu} p_{\nu}, \tag{F}$$ donde hemos introducido un tensor métrico efectivo $$ G_{\mu\nu}~=~g_{\mu\nu} + (1-n^{-2}) V_{\mu}V_{\nu}\qquad\Leftrightarrow\qquad G^{\mu\nu}~=~g^{\mu\nu} - (n^2-1) V^{\mu}V^{\nu}. \tag{G} $$
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Consideramos a continuación el lagrangiano hamiltoniano $$L_H~=~p\cdot \dot{x}- H,\tag{H}$$ donde el Hamiltoniano es de la forma Multiplicador de Lagrange por restricción $$ H~:=~\frac{e}{2} p_{\mu}G^{\mu\nu}p_{\nu} ~=~\frac{e}{2}\left( p^2 - (n^2-1) (p\cdot V)^2 \right).\tag{I}$$ En la galga $e=1$ el Hamiltoniano $H$ se convierte en la ec. (17) de la Ref. 3 y la ec. (4) de la Ref. 1. Obsérvese que la ec. (4) contiene un error de signo en el segundo término.
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Las ecuaciones EL de $L_H$ wrt. $p_{\mu}$ y $e$ reproducen la ec. (F) y la ec. (1.10), respectivamente, como deberían.
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El principio de acción hamiltoniano $$ S_H ~=~\int d\lambda~L_H \tag{J}$$ concuerda con el principio variacional (16) de la Ref. 3.
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Es sencillo integrar $p_{\mu}$ y/o $e$ para llegar a las correspondientes formulaciones lagrangianas, cf. p. ej. este Post de Phys.SE. Las trayectorias de la luz son geodésicas nulas con respecto al $G_{\mu\nu}$ métrico.
Referencias:
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A. Rogers, Efectos dependientes de la frecuencia de la lente gravitatoria en el plasma, arXiv:1505.06790 .
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S.M. Barnett y R. Loudon, El enigma del momento óptico en un medio, Philosophical Transactions of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences 368 (2010) .
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O.Yu. Tsupko & G.S. Bisnovatyi-Kogan, Lente gravitacional en plasma: Imágenes relativistas en plasma homogéneo, arXiv:1305.7032 .
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$^1$ Ref. 2 afirma en la sección 5 que la resolución de la controversia es que el 3-momento de Abraham es el momento cinético de la luz en el medio, mientras que el 3-momento de Minkowski es el momento canónico.
$^2$ Sea $\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}$ son índices del espaciotiempo mientras que $a,b\in\{1,2,3\}$ son índices espaciales.
