función de búsqueda rara a partir de la gráfica

Question

El gráfico está en el intervalo [-3,3], definido en R

Esta función mantiene el patrón en todos R

Cómo encontrar el $f(x)$ ?

Observa cómo el gráfico se vuelve paralelo en determinados intervalos. Estoy pensando en añadir una variable más para indicar una de las direcciones. Sin embargo, no puedo unir las dos.

¿Alguna idea?

Answer 1

Puede utilizar un onda triangular escrito en términos de seno y arcoseno:

$$f\left(x\right)\ =\ \frac{1}{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\pi\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)\right)+\frac{1}{2}.$$ Así se obtiene el siguiente gráfico:

Answer 2

Utilizando la función valor absoluto junto con la función suelo, se puede escribir $$ f(x)=1-\left|x-\left(2\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor\right)\right| $$ Verificación:

Con $f$ como se ha definido anteriormente, obtenemos \begin{align*} f(x+2) &= 1-\left|(x+2)-\left(2\left\lfloor\frac{(x+2)+1}{2}\right\rfloor\right)\right| \\[4pt] &= 1-\left|x+2-\left(2\left\lfloor\frac{x+1}{2}+1\right\rfloor\right)\right| \\[4pt] &= 1-\left|x+2-\left(2\left(\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor+1\right)\right)\right| \\[4pt] &= 1-\left|x+2-\left(2\left(\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor+1\right)\right)\right| \\[4pt] &= 1-\left|x+2-\left(2\left(\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor+1\right)\right)\right| \\[4pt] &= 1-\left|x+2-\left(2\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor\right)-2\right| \\[4pt] &= 1-\left|x-\left(2\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor\right)\right| \\[4pt] &= f(x) \\[4pt] \end{align*} así que $f$ es periódica con período $2$ .

Queda por comprobar que $f$ funciona correctamente en el intervalo $[-1,1)$ .

Supongamos $f$ se restringe al intervalo $[-1,1)$ . \begin{align*} \text{Then}\;\;& -1\le x < 1 \\[4pt] \implies\;& 0\le x+1 < 2 \\[4pt] \implies\;& 0\le \frac{x+1}{2} < 1 \\[4pt] \implies\;& \left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor=0 \\[4pt] \end{align*} por lo tanto para $-1\le x < 1$ obtenemos $$ f(x) = 1-\left|x-\left(2\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor\right)\right| = 1-|x| $$ que coincide con el gráfico del intervalo $[-1,1)$ .

Answer 3

Puede definir la función en intervalos parciales. Por ejemplo, $$y=1-x, ~~\text{if}~ x \in [0,1] $$ Del mismo modo, defina la función para otros intervalos.