Demuestre que $\int_0^x f(t)dt$ es compacta e inyectiva

Question

Ejercicio:

Considere $T:L^2([0,1])\to L^2([0,1])$ dada por $\int_0^x f(t)dt$ con $x\in[0,1]$ . Demuestre que $T$ es compacto e infeccioso.

¿Es correcta mi solución? Mi solución:

Por Arzéla-Ascoli basta con demostrar que $T$ es cerrado, acotado y equicontinuo.

• Limitación: $\Vert Tf \Vert\leq (\int_0^x 1 dt)^{1/2}(\int_0^x f^2(t)dt)^{1/2}\leq \Vert f\Vert_2$ para que $\Vert T\Vert\leq 1$ .
• T es cerrado: sea $(f_n,Tf_n)$ sea una secuencia en el grafo de T s.t. $f_n\to f$ y $Tf_n\to g$ . Así que tenemos que demostrar que $g=Tf$ . Así $\forall \varepsilon$ $\exists N$ tal que $\Vert Tf_n-g\Vert_2\leq \varepsilon$ para todos $n>N$ . \begin{equation} \Vert Tf_n-g\Vert_2^2\leq=\int_0^1\left(\int_0^xf_n(t)dt-g(x)\right)^2dx=\int_0^1\left(\int_0^x\vert f_n(t)-g'(t)\vert dt\right)^2dx \end{equation} y por tanto por unicidad del límite $g'=f$ . Así $Tf=Tg'=g$ .
• Equicontinuidad: Fijar $\varepsilon>0$ entonces existe $\delta =\varepsilon$ s.t. si $f,g\in L^2([0,1])$ son s.t. $\Vert f-g\Vert_2\leq \delta$ entonces $\Vert Tf-Tg\Vert_2\leq \Vert T\Vert\Vert f-g\Vert_2\leq \varepsilon$

Vemos que $T$ es inyectiva, ya que si $Tf(x)=0$ implica que $f(t)=0$ $\forall t\in [0,1]\backslash x$ . Pero como $f$ es continua $f(x)=0$ y así $f\equiv 0$ .

Por favor, ayúdenme a comprobar si mi solución es correcta, especialmente, la acotación y la cercanía.

Answer 1

Primero demostremos que $T$ es inyectiva. Tenemos que demostrar que $Tf = 0 \implies f=0$ casi seguro. Obsérvese que si $\int_0^x f=0$ para todos $x$ entonces $f$ debe ser cero en casi todas partes (porque cualquier medida de Borel finita sobre $[0,1]$ viene determinada por sus valores en conjuntos de la forma $[0,x)$ con $x>0$ ; en este caso nuestra medida de Borel es $A \mapsto \int_A f$ ).

En segundo lugar, demostremos que $T$ es compacto. Esto significa que si $\{f_n\}$ es una secuencia en $L^2$ con $\|f_n\| \leq 1$ para todos $n$ entonces debe ser cierto que $Tf_n$ converge a lo largo de una subsecuencia (con respecto al $L^2$ norma).

Así que $f_n$ sea una secuencia de este tipo en $L^2$ . Entonces observamos que para todo $0 \leq x<y \leq 1$ Cauchy Schwarz da $$|Tf_n(y)-Tf_n(x)| = \bigg| \int f_n \cdot 1_{[x,y]} \bigg| \leq \|f_n \cdot 1_{[x,y]} \|_1 \leq \|f_n\|_2 \cdot \|1_{[x,y]}\|_2 \leq 1 \cdot |x-y|^{1/2}$$ Esto demuestra que $\{Tf_n\}$ es equi-Hölder(1/2) y, por lo tanto, es equicontinua y acotada puntualmente. Por el Teorema de Arzela-Ascoli, podemos concluir que la $\{Tf_n\}$ converge uniformemente a lo largo de una subsecuencia $\{Tf_{n_k}\}$ . Dado que la norma uniforme domina la $L^2$ norma sobre $[0,1]$ se deduce que la misma subsecuencia también converge en $L^2$ . Esto demuestra que $T$ es compacto.