¿Cómo se produce esta igualdad entre un punto en $\mathbb R^n$ y combinación de operadores?

Question

Mi duda:-

Comprendí la prueba de $T_p(\mathbb R^n)\simeq \mathcal{D}_p(\mathbb R^n)$ . $T_p(\mathbb R^n)$ i elementos de $\mathbb R^n$ . $\mathcal{D}_p(\mathbb R^n)$ i de todas las derivaciones en $p$ . Cómo es posible utilizar la igualdad entre las cantidades de la ecuación (2.4)? He entendido lo siguiente $T(v)=\sum v^i\frac{\partial }{\partial x^i}|_p$ . ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Iba a escribir esto como comentario, pero se me hizo un poco largo.

La gente escribe así sobre todo por comodidad. Técnicamente, tienes toda la razón. Como también han señalado otros comentaristas, $T(v)$ es lo correcto. Sin embargo, este tipo de abuso de la notación es bastante común en geometría diferencial. Por ejemplo, también se utiliza "identificación" cuando se escriben puntos en el colector utilizando coordenadas. Usted puede ver una declaración como

" Considere el punto $ p =(a_1,\dots a_n)$ Dado el gráfico $(U,x)$ ",

en lugar del más largo pero más preciso

" Considere el punto $p$ en el colector de coordenadas $(a_1,\dots a_n)$ o Sea $p$ para que $x(p) = (a_1,\dots a_n)$ con el gráfico de coordenadas $(U,x)$ ".

Este caso es algo similar. Además, para una múltiple incrustada en $\mathbb{R}^n$ a veces queremos pensar en el espacio tangente como un subespacio de $\mathbb{R}^n$ . Es fácil escribir los vectores tangentes de la forma que resulte más adecuada para el propósito sin tener que introducir la función $T$ ou $T^{-1}$ una y otra vez.

Muchos estudiantes principiantes (yo incluido) aborrecen la geometría diferencial por su difícil notación. Después de un tiempo, uno se acostumbra y la asignatura parece mucho más atractiva. Hay un chiste que dice que la geometría diferencial es un estudio de propiedades que son invariantes al cambiar la notación.

Aquí hay un enlace a un Página de reddit sobre notación confusa de Geometría Diferencial

Advertencia : También podría tratarse de una errata en el libro, pero he visto este tipo de cosas con la suficiente frecuencia como para que merezca la pena mencionarlo.