¿Cómo se resuelve la siguiente EDP $\nabla_x y(x) \cdot y(x) = f(x)$ ?

Question

¿Cómo se resuelven las EDP de la forma $\nabla_x y(x) \cdot y(x) = f(x)$ ?

Toma, $y:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ , $\nabla_x y(x)$ es el gradiente de $y(x)$ en relación con $x$ y $f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m$ es una función continua.

Answer 1

Su ecuación equivale a $$∇_x(y(x)^2)=2f(x)$$ y necesitas las condiciones de compatibilidad o integrabilidad $\text{rot} f=0$ Eso es, $$\frac{\partial f_i}{x_j}-\frac{\partial f_j}{x_i}=0\ \ \forall\, i<j$$

Answer 2

Su ecuación es

$$\vec{\nabla}\left(y^{2}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)=2\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)$$

en $\mathbb{R}^{m}$ . Supongamos que

$$\oint_{\gamma}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\cdot{\rm d}\boldsymbol{x}=0$$

para cada curva cerrada $\gamma\subseteq\mathbb{R}^{m}$ . Sea $\boldsymbol{x}_{0}\in\mathbb{R}^{m}$ . Para cada $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{m}$ la línea $\left[\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{x}\right]\subseteq\mathbb{R}^{m}$ por lo que la solución viene dada por

$$y^{2}\left(x\right)=2\int_{\left[\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{x}\right]}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\cdot{\rm d}\boldsymbol{x}$$