¿Cómo se encuentra realmente el camino de menor acción?

Question

Leer sobre mecánica lagrangiana es fascinante. Un punto de vista totalmente diferente, una sola regla, una alternativa completa a las leyes de Newton. ¿Pero cómo encuentras realmente el camino de menor acción?

Supongamos que intento encontrar la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón, imagen cortesía de Dr. Thomas Gibson, Universidad Tecnológica de Texas :

Digamos que el cañón anterior lanza un proyectil por un acantilado a $0^\circ$ de la horizontal. La masa en realidad no afecta a la trayectoria sin tener en cuenta la resistencia del aire, pero es necesaria para la mecánica lagrangiana, así que digamos que es un $10\textrm{kg}$ proyectil. El proyectil se dispara desde $10\textrm{m}$ del suelo, y la velocidad impartida al proyectil es $10^{\textrm{m}}/_{\textrm{s}}$ totalmente en positivo $x$ dirección.

Newtoniano

Repasando esto al estilo newtoniano, si quisiéramos hallar la posición del proyectil en un punto cualquiera de su trayectoria, sabemos que la componente horizontal de su posición puede hallarse utilizando la velocidad inicial, y la componente vertical puede hallarse utilizando la aceleración debida a la gravedad, así:

$$\vec{s}(t) = \left \langle {v_xt}, {\frac{gt^2}{2}} \right \rangle$$

Lagrangiano

Para la aproximación lagrangiana, sabemos que la energía cinética del proyectil al inicio es $\frac{mv^2}{2}$ e ignorando la resistencia del aire, la energía potencial del proyectil al inicio es $mgh$ . Por lo tanto, en el contexto de una ruta determinada,

$${\mathcal {S}}(L)=\int_{t_i}^{t_f}{\left[ \frac{mv_x^2}{2} - mgh \right]} \,dt$$

Y el camino de menor acción $L_{LA}$ de todos los caminos posibles $L$ se define como:

$$\{L_{LA} \in L \mid {\mathcal {S}}(L_{LA}) = \min_{L_k \in L}{\mathcal {S}}(L_k)\}$$

Así que ya tengo mi definición, pero ¿cómo encuentro realmente la curva seguida por el proyectil :

$$\vec{s}(t) = \left \langle {?}, {?} \right \rangle$$

Ejemplo

Supongamos que quiero encontrar la posición del proyectil en la mitad de su trayectoria, por tiempo .

En el modelo newtoniano, sé que la trayectoria del proyectil terminará al chocar contra el suelo, por lo que el tiempo total en el aire puede expresarse como $t_f = \sqrt\frac{2d}{g}$ así que a la mitad de $t_f$ entonces, $t_{mid} = \sqrt\frac{d}{2g}$ .

Sustituir $t_{mid}$ en para $t$ y tenemos la posición a mitad de camino por el tiempo:

$$\vec{s}(t_{mid}) = \left \langle {v_x\sqrt\frac{d}{2g}}, {\frac{d}{4}} \right \rangle$$

Pero no consigo averiguar cómo llegar al mismo resultado a partir de la forma lagrangiana. ¿Cómo utilizaría la acción para encontrar realmente los detalles de la trayectoria favorecida?

$${\mathcal {S}}(L)=\int_{t_i}^{t_f}{\left[ \frac{mv_x^2}{2} - mgh \right]} \,dt \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \vec{s}(t_{mid}) = \left \langle {v_x\sqrt\frac{d}{2g}}, {\frac{d}{4}} \right \rangle$$

Answer 1

Sea $V(\vec{x})$ la energía potencial (en este caso, la energía gravitatoria) y $T(\vec{v})$ la energía cinética, entonces definimos un Lagrangiano como $\mathcal{L}(\vec{x},\vec{v})=T(\vec{v}) - V(\vec{x})$ y una acción $$ S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\vec{x},\vec{v}) dt $$

Es posible demostrar que el camino $\vec{x}(t)$ que minimiza la acción es la solución de la ecuación de Lagrange

$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = 0 $$

Las pruebas de esto se pueden encontrar en todos los libros de texto y también en Internet, y esto es completamente general. Ahora es un ejercicio fácil de usar $T(\vec{v}) = m \sum_{i=1}^3 v_i^2/2$ y $V(\vec{x}) = mgz $ en las ecuaciones de Lagrange para hallar

$$ \frac{dv_x}{dt} = 0$$ $$ \frac{dv_y}{dt} = 0$$ $$ \frac{dv_z}{dt} = -g $$ que son simplemente las leyes de Newton.

Para concluir, no debes considerar el enfoque variacional como la forma más fácil de conseguir cinemática, sino como una perspectiva diferente de la física de la que se deduce la cinemática. Así que, cuando resuelvas un simple problema de movimiento parabólico, utiliza simplemente la cinemática clásica, ya que es exactamente lo mismo, sólo ten en cuenta que la trayectoria parabólica es también la que minimiza la acción.

Espero que le sirva de ayuda. Por favor, pregunte por dudas y detalles si lo necesita.

Answer 2

Esta fue mi interpretación del enunciado del problema:

$$L(\dot x(t),y(t))=\frac {m}{2}\dot x(t)^2 - mgy(t)$$

Por lo tanto,

$$ \delta S(L(\dot x(t),y(t))= \delta \int L(\dot x(t),y(t))dt$$

lo que implica

$$\frac {d}{dt}(\frac {\partial L}{\partial \dot x(t)})=0 $$

$$-\frac{\partial L} {\partial {y(t)}}=F_{y(t)}$$

donde sólo he enumerado los términos distintos de cero.

$F_{y(t)}$ es una restricción holonómica, es decir, la gravedad.

Ojo, no me he inventado ningún dato - y no he acoplado el potencial gravitatorio al término de energía cinética $T$ .

La solución al problema es

$$y(t)=-\frac {1}{2}g(\frac {x(t)}{v_{x(0)}})^2+h$$

que debería ser una solución directa de ecuaciones diferenciales - suponiendo que no he cometido un error de álgebra.

La bola de cañón aterriza

$$x(t_f) = \sqrt{ \frac {2h}{g}}{v}^2_{x(0)}$$

desde la base del acantilado.

Answer 3

Aunque estoy totalmente de acuerdo con @Matteo, hay un giro especialmente relevante en la era de la potencia de cálculo fácil. El principio de la menor acción dice que el camino correcto es el que te da la menor acción. Así que adivina el camino, luego cámbialo un poco, mira si la acción se reduce, sí -> procede, no -> vuelve atrás e inténtalo de nuevo. Sigue adelante ... y encontrarás tu camino sin resolver una ecuación diferencial. Más exactamente, has cambiado un problema de resolución de una ecuación diferencial por un problema de minimización.

Mientras que hace unas décadas el procedimiento de ensayo y error era un suplicio, ahora es bastante sencillo de codificar y el ordenador se limita a escupir el resultado.

Feynman, capítulo 19 habló de ello http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html

" Supongamos que no conozco la capacidad de un condensador cilíndrico. Puedo utilizar este principio para hallarla. Simplemente adivino la función potencial ϕ hasta que obtengo la menor C. etc.... "

Esta cita en concreto es sobre capacitancia, pero el lecutro es sobre principios variacionales.