Es allí cualquier manera de encontrar la ecuación de esta situación?

Question

$\mathbb N = \{1,2,3,4\dots\}$

Supongamos que estamos empezando en un punto con coordenadas $(0,0)$. Ahora dibuje una línea de $(0,0)$ $(1,0)$e de$(1,0)$$(1,2)$. Ahora, por el teorema de Pitágoras, voy a sacar la hipotenusa es decir, una línea de $(0,0)$ $(1,2)$de la longitud de la $\sqrt{5}$. Ahora voy a sacar una línea de longitud de la $3$ desde el último punto de $(1,2)$ y perpendicular a la última hipotenusa tenemos. Va a dar otro punto, supongamos $(x_1,y_1)$. Ahora, de nuevo voy a sacar la hipotenusa y otra vez trazar una perpendicular a la línea de longitud de la $4$ a partir de este hipotenusa y así sucesivamente. Los valores de la longitud de las líneas que vienen desde el set $\mathbb N$ de los números naturales.

Ahora la pregunta es: ¿Cómo puedo encontrar la ecuación de la curva de satisfacción de los puntos de $(0,0), (1,0), (1,2) , (x_1,y_1) , (x_2,y_2), \dots$ ?

Parece que la curva sea una espiral, pero de nuevo no sé cómo encontrar la ecuación.

Una cifra similar se puede -

Answer 1

Es probablemente bueno para hacer un seguimiento de los desplazamientos de ángulo. Digamos que llamamos $α_n$ y comienza con $α_1 = 0$. A continuación, el ortogonal de la línea de agregado se gira de la up dirección $α_{n-1}$. Así que si $(x_0, y_0) = (0, 0)$$(x_1, y_1) = (1, 0)$, las coordenadas cambio como

$$ x_n = x_{n-1} - n\cdot \pecado α_{n-1} \\ y_n = y_{n-1} + n\cdot \cos α_{n-1}$$

Then you can calculate the new angle as

$$ α_n = α_{n-1} + \arctan\left(\frac n {\sqrt{x_{n-1}^2+y_{n-1}^2}}\right)$$

Of course this is the most simplistic approach and you could probably avoid using $\arctan$, $\pecado$ and $\cos$ with a little more calculation.

As you are always adding the length $n$, the radius will be

$$r_n := \sqrt{x_n^2+y_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n{k^2}} = \sqrt{\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)}$$

(Compare this formula.)

So then you could write either of

$$ a_n - α_{n-1} = \arccos\left(\frac{r_{n-1}}{r_n}\right) = \arccos\sqrt{\frac{(n-1)(2n-1)}{(n+1)(2n+1)}}\\ = \arctan\left(\frac{n}{r_{n-1}}\right) = \arctan \sqrt{\frac{6n}{(n-1)(2n-1)}}\\ = \arcsin\left(\frac{n}{r_n}\right) = \arcsin\sqrt{\frac{6n}{(n+1)(2n+1)}}$$

This way the calculation can be improved by defining

$$ s_n := \sin α_n, \quad c_n := \cos α_n $$

Then you will get

$$s_{n+1} = \sin(a_n + (α_{n+1} - a_n)) = \sin a_n \cos (α_{n+1} - a_n) + \cos a_n \sin (α_{n+1} - a_n) = \frac{s_nr_n}{r_{n+1}}+\frac{c_n(n+1)}{r_{n+1}}\\ c_{n+1} = \cos(a_n + (α_{n+1} - a_n)) = \cos(a_n)\cos(α_{n+1}-a_n)-\sin{a_n}\sin(α_{n+1}-a_n) = \frac{c_nr_n}{r_{n+1}} - \frac{s_n(n+1)}{r_{n+1}}$$

So you can put

$$x_n = x_{n-1} - ns_{n-1}\\y_n = y_{n-1} + nc_{n-1}$$

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Wikipedia gives a formula for the Spiral of Theodorus, like meantioned by pritam. Probably either of the there referenced solutions can be adapted to this problem. The complex function equation would here take the form

$$f(x+1) = \left(1+i\frac{x+1}{r_x}\right)f(x) = \left(1+i\sqrt{\frac{6(x+1)}{x(2x+1)}}\right)f(x)$$

Answer 2

La curva está dado por $$f(x)=\prod_{k=1}^\infty\frac{1+i/\sqrt {k}}{1+i/\sqrt {x+k}}$$

Ver la última parte, titulada 'la curva Continua' en el enlace de wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Spiral_of_Theodorus