Mostrar $p \mid 16x^4 + 1 \implies p \equiv 1 \pmod 4$

Question

Esencialmente, estoy seguro de que se trata de una respuesta sencilla, ya que mi profesor se saltó este paso. Sin embargo, me cuesta entender por qué es así. ¿Está haciendo uso de un teorema o es simplemente tomando todo $\pmod 4$ desde $16$ será obviamente congruente con $0 \pmod 4$ .

Pero incluso en este caso, $p$ es un divisor, así que no veo por qué sería el caso a menos que declaráramos $p = 16x^4 + 1$ . Entonces se seguiría que $p \equiv 1 \pmod 4$ .

Me pregunto si tendrá algo que ver con los números de Mersenne, pero me da la impresión de que estoy perdiendo el norte y complicando algo sencillo.

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

En términos de congruencias, significa $\;-1\equiv 16x^4=(4x^2)^2\mod p$ . Por tanto, implica $-1$ es un cuadrado módulo $p$ y se sabe que esto es cierto para un primo impar $p$ sólo si $p\equiv 1\mod 4$ .

Answer 2

Es más, es cierto. Si $p\mid 16x^4+1$ entonces $p$ es impar, y $(2x)^4\equiv-1\pmod p$ . Esto significa que $2x$ tiene orden multiplicativo $8$ modulo $p$ . Esto implica $8\mid(p-1)$ es decir $p\equiv1\pmod8$ .

Answer 3

Si $p|16x^4+1$ podemos escribirlo como $16x^4+1\equiv0\pmod{p}$ o

$$16x^4\equiv-1\pmod{p}$$

Desde $16x^4=(4x^2)^2$ es un cuadrado perfecto, tenemos que $-1$ es un residuo cuadrático, mod $p$ que es verdadera si y sólo si $p\equiv1\pmod{4}$ .

Answer 4

Vamos a hacer el tipo de solución caso por caso y encontrar el resto de $p$ mod $4$ . Obviamente el caso $p$ es par se excluye ya que el RHS es un número impar. Así que nos queda demostrar que $p$ no puede ser congruente con $3$ mod $4$ . Pero esto es en realidad una especie de resultados famosos. Los pasos son:

1) Si $p$ es de la forma $4k+3$ entonces $p$ tendría un divisor de la misma forma - llámese divisor primo $q$ .

2) $q|16x^4+1$ significa $q|(4x)^2+1 \implies -1 \equiv (4x)^2\pmod{q}$ . Eleva esto a la potencia de $\frac{q-1}{2}$ que es impar como $q\equiv3\pmod{4}$ por lo tanto terminamos con $-1 \equiv (4x)^{q-1} \pmod{q}$ Pero esto es una contradicción con el Teorema de Fermat que en este caso dice que

$(4x)^{q-1} \equiv 1\pmod{q}$ desde $\gcd(q, 4x)=1$

Espero que esto haya ayudado al menos un poco.