¿Es el conjunto Dedekind continuo?

Question

El conjunto se llama Dedekind continuo cuando no hay forma de hacer una $A||A'$ ou $A)(A'$ corta donde:

• $A||A'$ corte significa que existe el mayor elemento en $A$ y el elemento más bajo de $A'$ configure
• $A)(A'$ corte significa que no hay ningún elemento más grande en $A$ y ningún elemento más bajo en $A'$

Todos sabemos que $\mathbb{R}$ es continua de Dedekind.

La cuestión es si el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}$ es Dedekind continua o no:

$$ M = (-\infty; 2) \cup [3; +\infty) $$

Es obvio que este conjunto no puede ser "geometría" continua, ya que hay un hueco entre $2$ y $3$ pero no puedo encontrar una manera de hacer $A||A'$ ou $A)(A'$ cortes para demostrar que no es Dedekind continua.

Answer 1

Este conjunto es Dedekind continuo. De hecho, es de orden isomorfo a la recta real a través del siguiente mapa: $$ f: M\to \Bbb R\\ f(x) = \cases{x & if $ x<2 $\\ x-1 & if $ x \geq 3 $} $$

Answer 2

Este conjunto es Dedekind continuo.

Es obvio que este conjunto no puede ser "geometría" continua ya que hay un hueco entre 2 y 3...

A primera vista, el hecho de que este conjunto sea Dedekind continuo suena raro. Hay un "hueco" entre $2$ y $3$ . ¿¡Cómo puede considerarse esto continuo de alguna manera!?

Pero esto no es lo que ocurre en realidad. El conjunto $ [3; +\infty)$ viene justo después el $(-\infty; 2)$ por lo que no hay espacio entre ellos. La verdadera imagen sería:

Como se puede ver claramente, moviéndonos de izquierda a derecha tenemos gradualmente y continuamente pasar de elementos infinitamente cerca de $3$ derecho a elemento $3$ sin "saltos en el vacío".

Los cortes de Dedekinds pueden aplicarse a cualquier conjunto totalmente ordenado (incluidos los conjuntos de números). Así que la "abertura" imaginaria es sólo una especie de truco mental que se produce porque pensamos en estos conjuntos como racimos de números que representan un valor cetrain en lugar de pensar en ellos como conjuntos de elementos impersonales ordenados o incluso puntos.

Si nombramos $3$ como "elemento $b$ "los farsantes "se desplazan gradualmente de los elementos que se encuentran a la izquierda de $b$ al elemento $b$ mismo" no suena raro en absoluto.

Volviendo a la "continuidad geométrica". Imaginemos que cortamos un $[\ldots)$ sección de una línea recta. Podemos pegarla fácilmente, para que no pierda su "continuidad geométrica".

---

Los siguientes conjuntos también son Dedekind continuos:

• $ (-\infty; 1) \cup [5; +\infty) $
• $ [2; 11] \cup (54; 108) $
• $\cdots$

---

También cabe mencionar que los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}$ no son continuas de Dedekind:

• $ (-\infty; 2] \cup [3; +\infty) $ ya que podemos hacer $A||A'$ corte
• $ (-\infty; 1) \cup (5; +\infty) $ ya que podemos hacer $A)(A'$ corte
• $\ldots$