Hace poco me dijeron que el área cambia cuadráticamente cuando la longitud cambia linealmente, en el contexto de un cono.
¿Es generalmente cierto que el área cambia cuadráticamente cuando la longitud cambia linealmente? En caso negativo, ¿a qué clase de formas se aplica y a cuáles no?
He aquí otra perspectiva de tu pregunta, partiendo de tu comentario de que estás interesado "en el contexto de un cono".
En el plano cuando escalas todas las longitudes por un factor $\lambda$ escalas todas las áreas por $\lambda^2$ .
Esto también es cierto para las formas en un cono, porque un cono es urbanizable puedes cortarlo a lo largo de una semirrecta desde el punto y desenrollarlo para que quede plano sin distorsionar ninguna dimensión.
El cilindro también es desarrollable, por lo que las áreas se calculan por el cuadrado de las longitudes.
La esfera es diferente. Cuando escalas un triángulo de pequeño a grande, el área aumenta más rápido que cuadráticamente. Esto se debe a que un triángulo pequeño (equilátero) es casi plano, mientras que el triángulo equilátero con tres ángulos rectos (lados el ecuador y dos meridianos perpendiculares) se abomba, por lo que su área es "mayor de lo que sería en el plano". De hecho, en la esfera los triángulos semejantes deben ser congruentes, por lo que la idea de "escalar" es complicada.
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