Relación entre densidad superficial y densidad volumétrica

Question

A menudo, en un problema de E&M, tengo que "trocear" un objeto extendido en una suma infinita de objetos extendidos más pequeños de los que sé más para encontrar un potencial o un campo eléctrico o lo que sea. La parte con la que tengo problemas es cómo convertir la densidad de superficie (densidad de línea) en densidad de volumen (densidad de superficie) y viceversa.

En un problema que hice hace poco, se me ocurrió colapsar una dimensión en densidad de volumen $\rho$ para obtener la densidad superficial $\sigma$ vía: $\rho dr = \sigma$ . Me dio la respuesta correcta, pero dudo que sea la forma correcta de pensar y que esa fórmula funcione siempre.

Ahora mismo estoy intentando "cortar" un cilindro de densidad de volumen uniforme $\rho$ en discos de densidad superficial uniforme $\sigma$ . Pensé que tal vez el enfoque correcto sería relacionar los cargos totales. Tengo $$Q_{\text{cylinder}}=\int \rho d\tau=\rho \pi r^2 h\\ \text{and}\\ Q_{\text{disk}}=\int \sigma dS=\sigma \pi r^2\; .$$ Sin embargo, no sé cómo relacionarlo $Q_\text{cylinder}$ y $Q_\text{disk}$ . ¿Cuál es el proceso general?

Answer 1

Personalmente también he contemplado esta cuestión y he dado con una solución sencilla que resulta satisfactoria, al menos para mí. Estoy seguro de que esto también se puede encontrar en muchos libros de texto. En general, tenemos

$$\tag{$ \estrella $} Q=\int \rho\ d\tau$$

porque estamos considerando un espacio tridimensional. Intuitivamente, creemos que debería ser posible hablar de una distribución de carga tridimensional en todos los casos. La cuestión es cómo conceptualizar esto cuando hablamos de cargas superficiales, lineales o puntuales. La solución viene en forma de distribución (o función, según a quién se pregunte) delta de Dirac.

Veamos un ejemplo: Consideremos una 2-esfera de radio $R$ con alguna distribución de carga $\sigma(\theta,\phi)$ en él. ¿Cuál es la distribución tridimensional de la carga $\rho(r,\theta,\phi)$ correspondiente a esta situación? Como he dicho, tenemos que utilizar el delta de Dirac:

$$\rho(r,\theta,\phi)=\delta(r-R)\sigma(\theta,\phi)$$

Ahora, $(\star)$ nos da: $$Q=\int\rho\ d\tau=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^\pi\int_0^\infty \rho\ r^2\sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi=R^2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^\pi\sigma\ \sin\theta\ d\theta\ d\phi$$

Del mismo modo, cuando se considera una carga lineal o puntual, se utilizan dos o tres deltas de Dirac para describir la distribución en el espacio 3.

Answer 2

Dado un volumen con finito densidad de carga $\rho$ la densidad de carga superficial $\sigma$ de una superficie empotrada será infinitesimal . La carga del volumen es la integral de las cargas infinitesimales de las superficies incrustadas. A la inversa, a densidad de carga superficial finita le daría un densidad de carga infinita concretamente una función delta que, integrada, seguiría siendo una carga total finita. En tu ejemplo anterior, las cargas del cilindro y del disco están relacionadas por:

$$Q_\text{cylinder} = \int_\text{all discs} dQ_\text{disc} = \int d\sigma_\text{disc} \ dS_\text{disc} = \int \rho\ dh\ dS_\text{disc} =\int \rho\ dh\ r\ dr\ d\theta$$

Aquí he interpretado la densidad de carga superficial $d\sigma$ como la densidad de carga volumétrica multiplicada por el espesor de la superficie $\rho\ dh$ . Pero la integración sobre la densidad de carga superficial es poco intuitiva y oculta cómo las superficies se suman a un volumen.

Una forma mejor de verlo: El volumen de integración no se divide en superficies, sino en volúmenes finos e infinitesimales. Así no es necesario convertir entre densidades de superficie y de volumen y queda claro cómo los trozos se suman al volumen total. En tu ejemplo, el volumen de cada disco es $dV_\text{disc} = \pi R^2 dh$ e integraría

$$Q_\text{cylinder} = \int_\text{all discs} \rho\ dV_\text{disc} = \int_0^H \rho \pi R^2 dh$$

Ahora, el "proceso general" para resolver estos problemas es evaluar directamente la integral de volumen. Trocear un volumen e integrar los trozos es sólo una forma de saltarse algunos de los pasos que darías evaluando directamente la integral de volumen. Si no sabes qué utilizar como elemento de volumen $dV$ - depende de las coordenadas y casi siempre utilizarás una de:

$$\\\text{Cartesian}: dV = dx\ dy\ dz \\ \text{Polar}: dV = r\ dr\ dh\ d\theta \\ \text{Spherical}: dV = r^2 \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi$$

(Puede consultar los artículos de Wikipedia sobre elementos de volumen y el Jacobiano )

Lo que sigue es un poco farragoso, pero explica por qué a veces hay que adoptar el enfoque por partes e ilustra de dónde procede el elemento de volumen:

Alternativamente es a veces es más rápido dividir el volumen en porciones cuyo volumen se puede anotar, y en las que la densidad de carga es constante. Esto te permite hacer una integral sobre una única variable en lugar del volumen.

Si no conoces el volumen de la rebanada, o la función a integrar varía sobre las dimensiones finitas de la rebanada, ¡puedes rebanar la rebanada! Así se obtiene otra integral anidada, y una de las dimensiones finitas del trozo se convierte en infinitesimal. Puedes repetir esto hasta que todos los lados sean infinitesimales, y te quedará un paralelepípedo que no es más que el elemento de volumen $dV$ y vuelves a hacer la integral de volumen.

Para ilustrarlo, consideremos un cilindro con densidad de carga $\rho(r)$ . En útil esquema de corte (para obtener superficies de $\rho$ ) es cortar este cilindro en tubos concéntricos; cada tubo tiene una altura $H,$ radio interior $r,$ y espesor $dr$ por lo que el radio exterior es $r+dr.$ Sé que el volumen de este tubo es

$$dV_\text{tube} = 2\pi rH\ dr$$

por lo que necesito integrar

$$Q = \int \rho(r) dV_\text{tube} = \int_0^R \rho(r) 2\pi rH\ dr$$

Si no supiera el volumen de un tubo como este, o $\rho$ tuviera una dependencia de otra variable, la volvería a cortar en anillos de altura $dh,$ espesor $dr,$ y radio $r.$ Digo yo todavía no sé cuál es el volumen de estos anillos, así que los corto radialmente a lo largo del $\theta$ en paralelepípedos rectangulares cuyas dimensiones son $dV = dh \times dr \times r\ d\theta$ . Volvemos a hacer la integral de volumen en coordenadas polares.

Answer 3

Yo lo entendí así.

Ejemplo: Una esfera con carga uniforme tiene una densidad de carga lineal lambda y sigma es la densidad de carga superficial. lambda=sigma d(Superficie)/dx. para un cilindro Superficie=2 pi r x (donde x es la altura variable)

Así obtenemos lambda=sigma(2 pi r.1)