Número de variaciones de un conjunto específico

Question

Con un conjunto determinado $A=\{{0,...,N\}}$ sólo podemos elegir $H$ números de ella (podemos elegir el mismo número muchas veces), Y ponerlos en una fila. La suma de esos números tiene que ser algo dado $X$ . El primer elemento de cualquier fila no puede ser $0$ .
Por ejemplo, para el conjunto $A=\{{0,1,2,3\}}$ , $X=3$ y $H=4$ podemos tener tales variaciones:

1110
1011
1101
1200
1020
1002
3000

Pero no podemos formar: $0003$ y otros silimar.
¿Cuántas variaciones de este tipo podemos producir a partir de $X$ , $N$ y $H$ ?

Answer 1

Es como distribuir $X$ bolas en $H$ celdas cuando cada celda puede contener como máximo $N$ bolas y la primera celda contiene al menos 1 bola (el número de bolas en cada celda es el número que hay en ese lugar de la fila). Entonces pon 1 bola en la primera celda. Te queda $X-1$ bolas para distribuir en $H$ células, con tapa de como máximo $N$ bolas en todas las celdas menos en la primera, y como mucho $N-1$ bolas en la primera. Ahora utiliza el principio de exclusión-inclusión:
Denote por $A_i$ el conjunto de todas las distribuciones con más de $N$ bolas en el $i$ celda para $1<i\leq H$ y más de $N-1$ bolas en la primera celda, para $i=1$ . Entonces:
Todas las distribuciones sin limitaciones: $s_0=\binom{X-1+H-1}{H-1}$ .
$$|A_1|=\binom{X-1-N+H-1}{H-1}, \hspace{5 pt} |A_i|=\binom{X-1-(N+1)+H-1}{H-1}$$ (Para todos $i\neq 1$ ). Por lo tanto $s_1=\sum|A_i|=\binom{X-1-N+H-1}{H-1}+(H-1)\binom{X-1-(N+1)+H-1}{H-1}$ .
Desde aquí se continúa: $$s_j=\underset{1\leq i_1<...<i_j\leq H}{\sum}|A_{i_1}\cap...\cap A_{i_j}|$$ Entonces tienes: el número deseado de variaciones que necesitas es: $$\begin{eqnarray} e_0=\sum_{j=0}^H(-1)^js_j=\sum_{j=0}^H(-1)^j && \left[\binom{H-1}{j-1}\binom{X-1-N-(j-1)(N+1)+H-1}{H-1}\right. \nonumber \\ &+& \left.\binom{H-1}{j}\binom{X-1-j(N+1)+H-1}{H-1}\right] \nonumber \end{eqnarray}$$

Answer 2

Pista 1: La restricción sobre el primer elemento es una pista falsa.

Pista 2: Combinaciones con sustitución.