¿La inyectividad de $f:A\longrightarrow B\times C, f(x)=(g(x),h(x))$ implica la inyectividad de $g(x)$ y $h(x)$ ?

Question

Si una función $f:A\longrightarrow B\times C, f(x)=(g(x),h(x))$ es inyectiva, ¿implica que $h(x)$ y $g(x)$ ¿son también inyectivas? Creo que esto es sencillo, pero sólo quiero confirmarlo.

Supongamos que $g,h$ no son inyectivas. Esto significa que para algunos $x,y,x\neq y\in A$ tenemos $g(x)=g(y)$ y $h(x)=h(y)$ es decir $(g(x),h(x))=(g(y),h(y))\Longrightarrow f(x)=f(y)$ una contradicción, ya que $f$ es inyectiva.

¿Es correcto?

Answer 1

1. Su pregunta debe referirse a $g$ y $h$ no $f$ y $g$ .

2. Su argumento es erróneo. Por ejemplo, $h(x) = 1, g(x) = x$ hace $f$ inyectiva, pero $h$ ciertamente no lo es. A ver si, viendo este contraejemplo, puedes averiguar qué fallaba en tu argumento.

Answer 2

No es una contradicción. Si $g(x) = g(y)$ pero $h(x) \ne h(y)$ entonces $f(x)= (g(x),h(x)) \ne (g(x), h(y)) = f(y)$ .

Es posible.

.....

Ejemplo: Sea $g(x) = x^2$ y $h(x)=(x-2)^2$ . No son inyectivas.

Pero $f(x) = f(y)$ significa que $g(x) = g(y)$ Y $h(x) = h(y)$ .

Así que $x^2 = y^2$ así que $x = \pm y$ . Si $x \ne y$ entonces $x = -y$ .

Pero $(x-2)^2 = (y-2)^2$ así que

$x-2 = \pm(y-2)$ así que $x=y$ o $x-2 = -y+2$ y $x =-y+4$ .

Pero si $x \ne -y$ entonces debemos tener AMBOS $x =-y$ y $x=-y + 4$ .

Eso no puede pasar así que $f$ es inyectiva.