La definición de compacidad para "conjunto" y "espacio"

Question

Compactibilidad para "conjunto" y "espacio"

Me preguntaba si hay algún significado entre los dos ajustes. ¿Los tratamos como dos cosas diferentes?

Por ejemplo $(X,d)$ sea un espacio métrico con la topología inducida por la métrica $d$ . Del teorema de Heine-Borel (para el espacio métrico), sabemos que los siguientes son equivalentes:

• Toda secuencia tiene una subsecuencia convergente;
• $X$ es un espacio compacto.

Y esto está mal sobre conjuntos, toma $\left\{\frac{1}{n}\right\}_n$ en $[0,1]$ tiene una subsecuencia convergente, pero sólo es precompacta (su cierre es compacto).

Edita: Supongo que si tomas $\left\{\frac{1}{n}\right\}_n$ como subespacio, no tiene ninguna subsecuencia convergente, por lo tanto no es un subespacio (o conjunto) compacto. Entonces, ¿las dos configuraciones son en realidad la misma?

Answer 1

El término espacio se utiliza a menudo para el conjunto con estructura, por lo que conjunto/espacio compacto es algo equivalente. Sin embargo, puede haber alguna sutil diferencia al ser formales. Un espacio topológico es un par $(X,\tau)$ donde $\tau$ es una topología en un configure $X$ aunque a menudo nos limitamos a escribir $X$ con $\tau$ omitido. Se puede decir que un espacio topológico es compacto (ya que su topología es fija), pero no se puede decir que un conjunto $X$ es compacto ya que un conjunto no viene con una topología fija. Eso si se quiere ser formal, pero en las charlas matemáticas cotidianas esas sutilezas pueden resultar redundantes. Lo que solemos decir también es que $A$ es un subconjunto compacto de $X$ . Para ser formales, tenemos que decir el subconjunto $A$ del conjunto $X$ es compacto en la topología del subespacio inducida por $(X,\tau)$ pero creo que rara vez se dice/escribe una frase tan larga.

En cuanto a tu ejemplo, por subsecuencia de convergencia se entiende que el límite pertenece al mismo espacio. El límite de $\{1/n\}_{n\in \Bbb N}$ es $0$ que no pertenece a este conjunto.