Longitud de vectores ortogonales

Question

Supongamos que $u_1$ y $u_2$ son vectores ortogonales, con $||u_1|| = 2$ y $||u_2|| = 5$ . Visite $||3u_1 + 4u_2||$ $$$$ Then, $ u_1 \cdot u_1 = 4 $ and $ u_2\cdot u_2 = 25 $. And $ |||3u_1 + 4u_2|| = \sqrt{(3u_1 + 4u_2)\cdot(3u_1 + 4u_2)}$ Pero el caso es que no sé qué hacer con esta información. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sugerencia: Si $u_1, u_2$ son ortogonales, entonces su producto punto es cero.

¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 2

Sugerencia
Para vectores ortogonales $u,v$ (esto es definido como $u\cdot v = 0$ ) tenemos $$\| \alpha u + \beta v \|^2 = \alpha^2 \|u\|^2 + \beta^2 \|v\|^2$$

Para comprobarlo, observe que $\alpha u$ y $\beta v$ también serán ortogonales, por lo que WLOG $\alpha=\beta=1$ y luego $$\| u+v\|^2 = (u+v)\cdot(u+v) = u\cdot u + 2u\cdot v + v\cdot v = \|u\|^2 + 2\cdot 0 + \|v\|^2$$

Answer 3

$$\|3u_1+4u_2\|^2=(3u_1+4u_2)\cdot(3u_1+4u_2)=9\|u_1\|^2+24u_1\cdot u_2+16\|u_2\|^2$$

¿Qué es la $u_1\cdot u_2$ ?