Cocientes de $\mathbb Z[X]$ por polinomios irreducibles

Question

Supongamos que tenemos un polinomio irreducible $f\in \mathbb Z[X]$ y decir $r$ es una raíz de $f$ en $\mathbb C$ . ¿Es cierto que $\mathbb Z[X]/(f(X))$ es isomorfo a $\mathbb Z[r]$ ?

Lo pregunto porque parece que funciona para polinomios ciclotómicos pero no entiendo por qué.

¿Podemos generalizarlo a un dominio integral $R$ (en lugar de $\mathbb Z$ ) y un cierre algebraico de $\mathrm{Frac}(R)$ (en lugar de $\mathbb C$ ) ?

Answer 1

Esto añade detalles a la respuesta de DonAntonio y la generaliza al caso en que $R$ es un UFD. El punto principal que requiere aclaración es por qué el núcleo del morfismo que define consiste en el ideal principal generado por $f$ .

Existe un teorema que dice que si $R$ es un UFD y $K$ su campo de fracciones, entonces $R[X]$ también es un UFD, y la factorización en primos de un polinomio $f$ en $R[X]$ es $f = ap_1 \cdots p_n$ donde el $p_i$ son irreducibles en $K[X]$ y $a \in R$ es una constante. (Técnicamente, también debería escribir $a = uq_1 \dots q_n$ para la factorización de $a$ en $R$ .) Además, si $p \in R[X]$ es no constante, entonces es irreducible en $R[X]$ si y sólo si es irreducible en $K[X]$ y sus coeficientes no tienen factores comunes ( Lemma de Gauss ). Por lo tanto, excepto para los factores constantes, la descomposición de cualquier polinomio es la misma en $R[X]$ o en $K[X]$ .

En tu situación, tienes un polinomio $f$ que se supone irreducible en $R[X]$ y $f(r) = 0$ . Por supuesto, $f$ no puede ser constante. De lo anterior, $f$ también es irreducible en $K[X]$ . Ahora bien $g \in R[X]$ y $g(r) = 0$ entonces, ciertamente $f$ divide $g$ en $K[X]$ . Si escribimos la descomposición $g = a p_1 \dots p_n$ en $R[X]$ también es una descomposición válida en $K[X]$ Por lo tanto $f$ debe ser, salvo factor constante, uno de los $p_i$ 's. Pero $f$ y $p_i$ son ambos irreducibles en $R[X]$ por lo que difieren en un factor que es una unidad de $R$ . Por lo tanto $f$ divide $g$ en $R[X]$ .

Esto demuestra que el morfismo en la respuesta de DonAntonio induce un isomorfismo entre $Z[x]/(f)$ y $Z[r]$ .

Answer 2

Basta con aplicar el primer teorema del isomorfismo para homomorfismos de anillos:

$$\phi: \Bbb Z[x]\to\Bbb Z[r]\;,\;\;\phi(q(x)):=q(r)$$