Notación de flecha correcta para función con dominio natural

Question

He visto una definición que dice que dada una función $f:X \to Y$ el ámbito natural de $f$ es el mayor subconjunto posible $D \subseteq X$ para los que la norma que define $f$ es válido.

Por lo que tengo entendido, el $X$ en $f:X \to Y$ debe ser el dominio de $X$ . Supongamos que $D$ es un subconjunto de $X$ pero no es $X$ entonces eso parece implicar que hay al menos un elemento en $X$ no en $D$ . Pero si $X$ contiene un elemento que no está en el dominio de $f$ entonces no podemos escribir $f:X \to Y$ . Si tal subconjunto $D$ existe y no es $X$ lo que implica $f$ no es una función en primer lugar.

Mi pregunta es: ¿es errónea esta definición? O, escrita en notación de flecha, ¿es aceptable para $X$ sea un conjunto que contenga el dominio, aunque no sea el dominio de la propia función?

Answer 1

Las notaciones matemáticas son sobre todo una cuestión de convenciones y, en última instancia, la comprensión de las notaciones depende en gran medida del contexto .

A veces la gente escribe $f:X\to Y$ mientras que $X$ significa un conjunto que contiene el dominio de $f$ y el autor denota explícitamente el dominio de $f$ con $D$ que es un subconjunto propio de $X$ . A veces la gente hace una combinación y escribe algo como $$ f:D(f)\subset \mathcal{H}\to\mathcal{H} $$ donde $D(f)$ denota el dominio de $f$ .

Sobre todo cuando la gente escribe $f:X\to Y$ , $X$ significa el dominio de $f$ .

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Si asume en primer lugar que $X$ es el dominio de $f$ , y escriba a $f:X\to Y$ entonces nunca ocurre que " $X$ contiene un elemento que no está en el dominio de $f$ ".

Si $B$ es un subconjunto propio de $X$ que es supuesto sea el dominio de $f$ entonces es cierto que $X$ tiene un elemento que no está en $B$ . Esto no contradice nada de la definición del dominio de $f$ : su dominio de $f$ es $X$ no $B$ .

Piense en el siguiente ejemplo.

Supongamos que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es una función definida en $X=[0,1]$ . Entonces

• $B=[0,1)$ es un subconjunto (adecuado) de $X$ .
• $X$ contiene un elemento que no está en $B$ es decir, $x=1$ .