Demostrar que $\| \cdot \|_0$ definido por $\| x \|_0=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|$ es una norma en $E$ .

Question

Dado que $E$ es un espacio de dimensión finita. Sea $\dim E=n\geq 1$ et $\{e_i\}^{n}_{i=1}$ sea una base para $E.$ Entonces, existen escalares únicos $\{\alpha_i\}^{n}_{i=1}$ tal que $$\begin{align}x=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i e_i.\end{align}$$ El problema es: quiero demostrar que $\| \cdot \|_0$ definido por $\| x \|_0=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|$ es una norma en $E$ .

Por lo tanto, publicaré la prueba en la sección de respuestas después de que haya sido aprobada.

Answer 1

$a.\qquad$ Sea $x\in E,$ entonces $$\begin{align}\|x\|_0=0&\iff \max\limits_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|=0 \iff |\alpha_i|=0,\,\forall \,{1\leq i\leq n}\\&\iff \alpha_i=0,\,\forall \,{1\leq i\leq n}\\&\iff x=0,\;\forall\;x\in E\end{align}$$ $b.\qquad$ Sea $\lambda \in K$ entonces $\lambda x=\sum_{i=1}^{n}\lambda\, \alpha_i e_i$ et

$$\begin{align}\|\lambda x\|_0&= \max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda\,\alpha_i|=|\lambda\,|\max\limits_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|=|\lambda\,|\| x\|_0,\;\forall\;x\in E\end{align}$$

$c.\qquad$ Sea $x,y\in E$ entonces $x=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i e_i$ et $y=\sum_{i=1}^{n}\beta_i e_i,$ para algunos $\alpha_i,\beta_i,\;i\in\{1,2,\cdots,n\}.$ Así,

$$\begin{align}\| x+y\|_0&= \max\limits_{1\leq i\leq n}|\alpha_i+\beta_i|\leq \max\limits_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|+\max\limits_{1\leq i\leq n}|\beta_i|=\| x\|_0+\|y\|_0,\;\forall\;x,y\in E\end{align}$$