Paseo aleatorio : probabilidad de alcanzar un valor $i$ sin pasar por valor negativo $j$

Question

Esta es sólo una pregunta que surgió de la nada mientras empezaba a estudiar los paseos aleatorios, y realmente no sé cómo enfocar esto.

Digamos que tengo un paseo aleatorio que empieza en cero, y sube o baja uno en cada paso con igual probabilidad.

Para un número entero $i$ detenemos la marcha cuando alcanza $i$ o $-i$ .

Supongamos que se nos da que el paseo se detuvo al llegar a $i$ . Me interesa el valor mínimo por el que ha pasado el paseo. En otras palabras, para algún $0 \geq j > -i$ ¿cuál es la probabilidad de que el paseo haya tomado el valor $j$ en algún momento, pero no $j - 1$ ?

Answer 1

Para calcular $P(j\cap i)$ la probabilidad de alcanzar $i$ habiendo alcanzado $j$ como mínimo, considere la posibilidad de jugar dos partidos seguidos:

1. $G$ Es el juego que se gana empezando de cero, terminando en $j$ sin haber alcanzado $i$
2. $H$ es el juego que se gana partiendo de $j$ terminando en $i$ sin haber alcanzado $j-1$

Para la primera tenemos $$ P(G)=\frac{i}{i+|j|} $$ para el segundo tenemos $$ P(H)=\frac{1}{1+i+|j|} $$ y así $$ P(j\cap i)=P(H)P(G)=\frac{i}{(i+|j|)(1+i+|j|)} $$ y como yo lo entendí, usted preguntó por la probabilidad condicional $P(j\mid i)$ de haber alcanzado $j$ como mínimo dado que terminamos en $i$ . Esto debería $$ P(j\mid i)=\frac{P(j\cap i)}{P(i)}=\frac{2i}{(i+|j|)(1+i+|j|)} $$ desde $P(i)=\frac12$ si no me equivoco. Esta fórmula debería funcionar para $-i<j\leq 0$ entonces. He calculado una tabla de probabilidades para el ejemplo $i=10$ utilizando Wolfram|Alpha . Parece plausible. Por un lado, las probabilidades suman $1$ y, por supuesto, disminuyen con $j$ como deberían, lo que se desprende de la fórmula.